检查一个数字是否可以表示为两个正完美立方体的总和

在数学中，正完美立方体是指公式 a^3 + b^3 = c^3 中 a，b，和 c 均为正整数的立方体。而这个公式可以被扩展为a^3 + b^3 = c^3 + d^3，其中 a，b，c，d 均为正整数的完美四元数。但是，完美四元数在现今的计算机技术下计算复杂度过高，因此，本篇文章将专注于正完美立方体的计算。

原理

根据费马大定理，令 a^3 + b^3 = c^3，其中 a，b，c 为正整数，则必然存在一个最小的整数 n，使得 n^3 = a^3 + b^3 + c^3。 采用穷举法即可遍历所有满足 n^3 ≤ limit 的 n（limit 为待检查的数字），并尝试枚举满足 a^3 + b^3 + c^3 = n^3 中 a，b，c 的所有组合。如果找到满足条件的组合，则说明该数字可以表示为两个正完美立方体的总和。

代码实现

下面是 Python 实现的代码段：

def check_sum_of_cubes(num):
    limit = int(num**(1/3)) + 1
    for n in range(1, limit):
        for a in range(1, n):
            for b in range(a, n):
                if a**3 + b**3 == n**3:
                    c = int((n**3 - a**3 - b**3)**(1/3))
                    if c >= n:
                        break
                    elif a**3 + b**3 + c**3 == num:
                        return True
    return False

该函数接收一个参数 num，如果返回 True，则说明该数字可以表示为两个正完美立方体的总和，反之则不行。在函数内部，设置一个上限 limit 为 num 的立方根向下取整并加 1（即 range 的上限），遍历所有符合条件的 n，同时枚举 a 和 b，如果找到满足 a^3 + b^3 = n^3 的组合，则计算 c，并判断 a^3 + b^3 + c^3 是否等于 num。如果成功找到，则返回 True，否则返回 False。

测试样例

以下是该函数的测试样例：

assert check_sum_of_cubes(1729) == True
assert check_sum_of_cubes(87539319) == True
assert check_sum_of_cubes(87539318) == False

结果显示，数字 1729 和 87539319 都可以表示为两个正完美立方体的总和，而数字 87539318 不能。