通过翻转矩阵的列来最大化由相等元素组成的行数

在一个矩阵中，如果一行中的所有元素是相等的，那么这一行被称为相等行。现在你可以通过翻转矩阵的列来重新排列所有行，使得相等的行尽可能多。请编写一个函数来最大化由相等元素组成的行数。

思路

首先可以先统计出每行中每种元素的个数。然后对于每个元素，计算一下它在每行中出现的个数。如果有装满该元素的行，就将该行标记为“装满”，否则如果该元素只出现一次，就将该行标记为“只能放这个元素”，这样可以保证后面的元素可以选择这些行，而不影响已经选择的元素。

接着，对于每个元素，选择能装满该元素的行，一行只能被选择一次。如果所有能装满该元素的行已经被选择完了，就只能从“只能放这个元素”的行中选择一行。

选择完元素后，就可以重新排列矩阵了。对于矩阵中的每一列，将其中所有的元素翻转，使得矩阵中的相等行尽可能多。

代码实现

from typing import List


def max_equal_rows(matrix: List[List[int]]) -> int:
    """
    通过翻转矩阵的列来最大化由相等元素组成的行数

    :param matrix: 嵌套列表表示的矩阵
    :return: 相等行的最大数量
    """
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    counts = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            counts[i][matrix[i][j] - 1] += 1

    full_rows, only_rows, max_rows = [False] * m, [False] * m, 0
    for k in range(1, n + 1):
        indices = [i for i, row in enumerate(counts) if row[k - 1] > 0]
        full_indices = [i for i in indices if row.count(k) == row[k - 1]]
        only_indices = [i for i in indices if row[k - 1] == 1]
        for i in full_indices:
            if not full_rows[i]:
                max_rows += 1
                full_rows[i] = True
        for i in only_indices:
            if not full_rows[i]:
                max_rows += 1
                only_rows[i] = True

    flipped_matrix = []
    for j in range(n):
        column = [matrix[i][j] for i in range(m)]
        if column.count(column[0]) == m:
            flipped_matrix.append(column)
        else:
            to_flip = []
            for i in range(m):
                if full_rows[i]:
                    to_flip.append(column[i])
            if not to_flip:
                for i in range(m):
                    if only_rows[i]:
                        to_flip.append(column[i])
            for i in range(m):
                if matrix[i][j] in to_flip:
                    counts[i][matrix[i][j] - 1] -= 1
                    counts[i][n - matrix[i][j]] += 1
            flipped_matrix.append([n - x for x in column])

    max_cols = 0
    for i in range(m):
        if full_rows[i]:
            max_cols += 1
        elif only_rows[i]:
            for j in range(n):
                if counts[i][j] == 1:
                    max_cols += 1
                    break

    return max(max_rows, max_cols)

以上是用Python实现的。该函数的时间复杂度为 $O(mn^2)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是矩阵的行数和列数。在最坏情况下，需要对每个元素都进行一遍操作，每次操作需要遍历一遍矩阵。空间复杂度也为 $O(mn)$。