通过旋转所有行或所有列来最大化矩阵的对角线总和

问题描述

给定一个 $n \times n$ 的矩阵，每个元素为正整数，对角线总和为矩阵主对角线和副对角线的和。旋转矩阵的行或列可以改变对角线的总和。

请编写一个算法，通过旋转所有行或所有列，使得矩阵的对角线总和最大化。

解法

我们可以尝试先通过旋转所有行或所有列，让矩阵的对角线总和最小化，然后再通过一定的操作使得对角线总和逐步增加。

具体来说，我们可以将矩阵的行列分别排序，然后让第 $i$ 行和第 $i$ 列相对交换，即可以将对角线 $i$ 上的元素移动到主对角线和副对角线上。通过这样的操作，我们可以将对角线总和减少到最小。

接下来的目标是增加对角线的总和。对于一个 $n \times n$ 的矩阵，它有 $2n-1$ 个对角线，其中主对角线和副对角线各占一个。

我们可以先考虑主对角线，对于第 $i$ 条主对角线，它包含第 $i$ 行和第 $i$ 列，可以通过交换它们来使得主对角线上的元素最大化。具体来说，我们可以将第 $i$ 行上的最大值和第 $i$ 列上的最大值互换，这样可以让主对角线上的元素最大化。对于副对角线也采用同样的方法。

最后得到的矩阵就是对角线总和最大化的矩阵。

代码示例：

def max_diagonal_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    rows = [sorted([(matrix[i][j], j) for j in range(n)]) for i in range(n)]
    cols = [sorted([(matrix[i][j], i) for i in range(n)]) for j in range(n)]

    diagonal_sum = lambda m: sum(m[i][i] for i in range(n)) + sum(m[i][n-i-1] for i in range(n))

    # rotate rows to minimize diagonal sum
    min_sum = diagonal_sum(rows)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            rows[i], rows[j] = rows[j], rows[i]
            curr_sum = diagonal_sum(rows)
            if curr_sum < min_sum:
                min_sum = curr_sum
            else:
                rows[i], rows[j] = rows[j], rows[i]

    # rotate columns to maximize diagonal sum
    for i in range(n-1):
        max_val, max_idx = max(cols[i+1][::-1])
        if max_val > cols[i][i][0]:
            j = max_idx
            cols[i], cols[j] = cols[j], cols[i]

    # assemble the new matrix
    new_matrix = [[0]*n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            val, row_idx = cols[j].pop()
            new_matrix[i][j] = rows[row_idx].pop()[0]

    return new_matrix

返回的 markdown：

# 通过旋转所有行或所有列来最大化矩阵的对角线总和

## 问题描述

给定一个 $n \times n$ 的矩阵，每个元素为正整数，对角线总和为矩阵主对角线和副对角线的和。旋转矩阵的行或列可以改变对角线的总和。

请编写一个算法，通过旋转所有行或所有列，使得矩阵的对角线总和最大化。

## 解法

我们可以尝试先通过旋转所有行或所有列，让矩阵的对角线总和最小化，然后再通过一定的操作使得对角线总和逐步增加。

具体来说，我们可以将矩阵的行列分别排序，然后让第 $i$ 行和第 $i$ 列相对交换，即可以将对角线 $i$ 上的元素移动到主对角线和副对角线上。通过这样的操作，我们可以将对角线总和减少到最小。

接下来的目标是增加对角线的总和。对于一个 $n \times n$ 的矩阵，它有 $2n-1$ 个对角线，其中主对角线和副对角线各占一个。

我们可以先考虑主对角线，对于第 $i$ 条主对角线，它包含第 $i$ 行和第 $i$ 列，可以通过交换它们来使得主对角线上的元素最大化。具体来说，我们可以将第 $i$ 行上的最大值和第 $i$ 列上的最大值互换，这样可以让主对角线上的元素最大化。对于副对角线也采用同样的方法。

最后得到的矩阵就是对角线总和最大化的矩阵。

代码示例：

```python
def max_diagonal_sum(matrix):
    n = len(matrix)
    rows = [sorted([(matrix[i][j], j) for j in range(n)]) for i in range(n)]
    cols = [sorted([(matrix[i][j], i) for i in range(n)]) for j in range(n)]

    diagonal_sum = lambda m: sum(m[i][i] for i in range(n)) + sum(m[i][n-i-1] for i in range(n))

    # rotate rows to minimize diagonal sum
    min_sum = diagonal_sum(rows)
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            rows[i], rows[j] = rows[j], rows[i]
            curr_sum = diagonal_sum(rows)
            if curr_sum < min_sum:
                min_sum = curr_sum
            else:
                rows[i], rows[j] = rows[j], rows[i]

    # rotate columns to maximize diagonal sum
    for i in range(n-1):
        max_val, max_idx = max(cols[i+1][::-1])
        if max_val > cols[i][i][0]:
            j = max_idx
            cols[i], cols[j] = cols[j], cols[i]

    # assemble the new matrix
    new_matrix = [[0]*n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            val, row_idx = cols[j].pop()
            new_matrix[i][j] = rows[row_idx].pop()[0]

    return new_matrix