将给定序列转换为几何级数的最少操作数

介绍

在这个问题中,我们需要将一个给定的数字序列转换为几何级数, 使之最少的操作数. 通过对这个问题的分析,我们可以使用动态规划来解决它.

动态规划

首先,我们需要定义一些变量:

• n: 数字序列的长度
• a: 数字序列
• d: 差值比列 (d[i] = a[i+1] / a[i]-1)
• dp: 动态规划表 (dp[i][j] 表示从 a[0] 到 a[i] 期间以 a[j] 为公比形成几何级数的最少操作数)

接下来,我们可以使用以下递推式来更新我们的动态规划表:

if (i == j) dp[i][j] = 1;
else dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j]+1); // 情况 1
for (int k = 0; k < i; k++) { // 情况 2
    if (d[k] == d[i]) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j]+i-k-1);
}

具体地说,

• 情况 1: 要么我们在序列中添加一个新数字, 要么我们在上一个数字后修改公比. 取较小值作为答案;
• 情况 2: 我们可以使用任何在这两个位置之间的公比形成几何级数. 我们可以尝试每个位置, 找到差值比为 d[i] 的位置, 然后取最小的操作数.

最后, 我们将返回 dp[n-1][0] , 它表示我们将整个序列转换为几何级数所需的最少操作数.

代码实现

下面是实现以上算法的 c++ 代码:

int minOperations(vector<int>& a) {
    int n = a.size();
    if (n <= 1) return 0;
    vector<double> d(n-1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (a[i-1] == 0 && a[i] == 0) d[i-1] = 1;
        else if (a[i-1] == 0) d[i-1] = INFINITY;
        else d[i-1] = 1.0*a[i] / a[i-1] - 1;
    }
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            dp[i][j] = INT_MAX;
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (a[j] == 0) continue;
            if (i == j+1) dp[i][j] = 1;
            else dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j]+1);
            for (int k = 0; k < j; k++) {
                if (d[k] == d[i-1])
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j]+i-k-1);
            }
        }
    }
    int ans = INT_MAX;
    for (int j = 0; j < n-1; j++)
        ans = min(ans, dp[n-1][j]);
    return ans;
}

这个算法的时间复杂度为 $O(N^3)$ , 其中 $N$ 是数字序列的长度.

总结

在这个问题中, 我们需要将一个给定的数字序列转换为几何级数, 使之最少的操作数. 我们可以使用动态规划来解决它. 具体地说, 我们首先定义一些变量, 然后使用递推式来更新我们的动态规划表. 最后, 我们将返回动态规划表中正确的值, 它表示我们将整个序列转换为几何级数所需的最少操作数.