可以内接在球体内的最大立方体

内接于球体内的最大立方体是一个重要的数学问题。该问题在计算机图形学、计算机辅助设计等领域有许多应用。在本文中，我们将简单介绍该问题的解决方案。

问题描述

给定一个球体，寻找该球体内可内接立方体的最大尺寸。也就是说，立方体的六个面都与球面相切，且该立方体的体积最大。

解决方案

解决该问题的一个常见方法是使用优化算法。通过枚举不同的立方体尺寸和位置，然后计算其体积与球体的交集，最终找到最大的交集立方体。然而，由于该问题可能存在多个局部最优解，因此通常需要使用更复杂的算法来找到全局最优解。

一种较为常见的方法是将问题转化为求解球体内的最小球形包围盒。最小球形包围盒是包含给定点集的最小球体，可以使用离散化旋转卡壳（discrete rotating calipers）算法求解。该算法可以在 $O(n\log n)$ 的时间复杂度内找到最小球形包围盒，从而得到内接立方体的最大尺寸。

代码片段

以下是使用 Python 语言实现离散化旋转卡壳算法求解最小球形包围盒的简单示例代码：

from typing import List, Tuple
import numpy as np

def rotating_calipers(points: List[Tuple[float, float]]) -> float:
    n = len(points)
    p = np.asarray(points)
    i, j = 0, 1
    max_dist = 0
    while i < n:
        di = np.abs(np.cross(p[j] - p[i], p[i] - p[(i+1)%n])) / np.linalg.norm(p[j] - p[i])
        dj = np.abs(np.cross(p[(i+1)%n] - p[j], p[j] - p[i])) / np.linalg.norm(p[(i+1)%n] - p[j])
        max_dist = max(max_dist, di, dj)
        if di > dj:
            j = (j+1) % n
        else:
            i += 1
    return max_dist

def minimum_bounding_sphere(points: List[Tuple[float, float, float]]) -> float:
    n = len(points)
    p = np.asarray(points)
    if n == 1:
        return 0
    elif n == 2:
        return np.linalg.norm(p[1]-p[0])
    elif n == 3:
        return np.max(np.linalg.norm(p[1:]-p[0], axis=1))
    else:
        indices = np.random.choice(n, 4, replace=False)
        q = p[indices]
        d = np.sqrt(np.sum((q[:, np.newaxis] - q[np.newaxis, :])**2, axis=2))
        s = np.max(np.triu(d))
        t = np.argmax(np.triu(d))
        i, j, k = np.unravel_index(t, (4,4))
        center = np.mean(q[(i,j,k)], axis=0)
        radius = np.sqrt(np.sum((q[i]-center)**2))
        inliers = p[np.linalg.norm(p-center, axis=1) <= radius]
        return rotating_calipers(inliers[:, :2])

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 n 表示球体表面上的点数。在实际应用中，可能需要对球体进行离散化或使用近似算法来优化计算效率。

结语

内接于球体内的最大立方体问题是一个重要的数学问题，其解决方案具有广泛的应用价值。除了本文中介绍的优化算法之外，还有许多其他方法可以用于寻找内接立方体的最大尺寸，包括随机采样、贪心算法、深度学习等。读者可以根据具体应用场景选择适合的方法。