Python 中的几何级数

在数学中，几何级数是指以相同比率连乘而得到的一系列数。在 Python 中，我们可以通过几种方式来计算和操作几何级数。

1. 计算几何级数的和

可以用以下公式来计算一个几何级数的和：

$$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$$

其中，$a$ 是首项，$r$ 是公比，$n$ 是项数。

在 Python 中，我们可以使用以下代码来计算几何级数的和：

def geometric_sum(a, r, n):
    if r == 1:
        return a * n
    else:
        return a * (1 - r ** n) / (1 - r)

这个函数接受三个参数：$a$、$r$ 和 $n$，并返回几何级数的和。

例如，假设我们要计算首项为 $1$，公比为 $2$，项数为 $4$ 的几何级数的和，可以调用以下函数：

>>> geometric_sum(1, 2, 4)
15.0

这个函数还考虑了公比为 $1$ 的情况，此时几何级数变为等比数列，可以通过首项和项数的乘积来计算。

2. 生成几何级数

我们也可以使用 Python 生成器来生成一个几何级数。

以下是一个简单的生成器函数，用于生成以 $a$ 为首项、$r$ 为公比的几何级数：

def geometric_series(a, r):
    while True:
        yield a
        a *= r

这个生成器不断生成新的数字，每个数字都是前一个数字乘以公比 $r$ 而得到的。我们可以使用 next() 函数来获取生成器的下一个值。

例如，假设我们要生成首项为 $1$，公比为 $2$ 的几何级数的前 $5$ 项，可以使用以下代码：

>>> series = geometric_series(1, 2)
>>> for i in range(5):
...     print(next(series))
...
1
2
4
8
16

这个示例使用了一个 for 循环和 next() 函数来逐一获取生成器的前五个值。

结论

Python 中几何级数的计算和生成是十分简单的，无论您是在数学运算中还是编程中需要使用几何级数，都可以很方便地使用 Python 进行实现。