矩阵

矩阵在工程计算中非常有用。一些涉及矩阵的Math 运算很重要。在本节中，我们将学习矩阵，其符号，类型，操作和应用程序。

什么是矩阵?

矩阵是一组数字，排列在条目的水平和垂直线上。水平条目称为行，垂直条目称为列。这些数字称为矩阵的元素或条目。它写在一对方括号[]中。换句话说，它是一个数字数组。它是数组形式的数字的矩形表示。

矩阵符号

矩阵通常用大写字母表示，其元素用小写字母以及行和列编号的下标表示。行和列分别由小写字母m和n表示。矩阵的大小由其包含的行数和列数定义。具有m行n列的矩阵称为m×n矩阵。它总共包含m×n个元素。例如：

在上面的矩阵中， _i i(i代表行号，j代表列号)是矩阵的元素。一共有三行三列，所以矩阵中总共有九个元素。

矩阵可以包含任意数量的行和列。例如：

矩阵类型

有以下几种类型的矩阵：

空矩阵：无行无列的矩阵称为空矩阵。例如：

[]

行矩阵：一个只有一行的矩阵称为行矩阵。也称为行向量。例如：

[4 3 6]

列矩阵：一个矩阵，只有一列被称为列矩阵。也称为列向量。例如：

零矩阵：一个矩阵，它的所有元素都为零称为零矩阵。也称为零矩阵。例如：

方阵：行和列尺寸相等(m = n)的矩阵称为方阵。例如：

对角矩阵：将所有非对角元素都为零且在其主对角线上包含至少一个非零元素的方阵称为对角矩阵。例如：

标量矩阵：所有对角元素均相等的对角矩阵称为标量矩阵。标量矩阵不能是单位矩阵，而单位矩阵可以是标量矩阵。例如：

单位矩阵：将主要对角元素为1而所有非对角元素为零的标量矩阵称为单位矩阵。也称为单位矩阵。用字母I表示。它也是一个标量矩阵。

例如：

三角矩阵：这是一种特殊的正方形矩阵，可在其主对角线的上方或下方形成一个三角形。三角矩阵有两种类型：

• 上三角矩阵：一个正方形矩阵，其中领先对角线以下的所有元素均为零。换句话说，如果满足以下条件，则正方形矩阵A = [a _ij ]为上三角：

例如：

• 下三角矩阵：下三角矩阵，其中主对角线上方的所有元素均为零。换句话说，如果满足以下条件，则方阵A = [a _ij ]是一个较低的三角形：

例如：

子矩阵：矩阵的子矩阵是通过删除任何行或列或两者都确定的。例如，考虑以下矩阵：

从上面的矩阵A，我们可以生成一个子矩阵。我们将删除^第二行和^第三列。删除后，我们得到以下子矩阵：

矩阵的应用

• 图论：有限图的邻接矩阵是图论的基本表示法。
• 计算机图形学：在计算机图形学中，矩阵在2D屏幕中的三维图像投影中起着至关重要的作用。图形软件使用矩阵Math 来处理线性变换以渲染图像。
• 求解线性方程式：使用行归约法，使用逆矩阵使用Cramer规则(行列式)。
• 机器人技术：在机器人技术和自动化中，矩阵是机器人运动的基本要素。
• 记录实验：许多组织都使用它来记录实验数据。
• 地质学：用于地震勘测。
• 密码学。

矩阵运算

我们可以在矩阵上执行以下操作：

• 加成
• 减法
• 乘法
• 师
• 标量乘法
• 逆
• 转置
• 矩阵负数

矩阵加法

可以通过添加与位置匹配的元素来完成两个矩阵的总和。请记住，两个矩阵的大小必须相同。所得矩阵的大小也相同。

假设有两个矩阵A和B，每个矩阵的大小为3×3。

A + B的总和为：

加法的性质

• 交换律： A + B = B + A
• 关联法则： A +(B + C)=(A + B)+ C
• 加性身份： A + 0 = 0 + A = A
• 加逆： A +(-A)=(-A)+ A = 0

示例：添加以下矩阵A和B。

矩阵相减

可以通过减去与位置匹配的元素来完成两个矩阵的减法。换句话说，它是负矩阵的加法。请记住，两个矩阵的大小必须相同。所得矩阵的大小也相同。

假设有两个矩阵A和B，每个矩阵的大小为3×3。

A-B的减法将为：

示例：减去以下矩阵A和B。

矩阵相乘

矩阵乘法是行和列的点积。点积是两个数字序列的匹配条目的乘积之和。

乘法的性质

• 非可交换的： AB≠BA
• 关联的： A(BC)=(AB)C
• 左分配： A(B + C)= AB + AC
• 右分配： (A + B)C = AC + BC
• 标量： k(AB)=(kA)B(其中k是标量)
• 身份： IA = AI = A
• 转置： (AB) ^T = A ^T B ^T

示例：将以下矩阵相乘。

矩阵科

矩阵的划分是一个棘手的过程。要划分两个矩阵，我们执行以下步骤：

• 求除数的逆
• 将除数矩阵乘以逆矩阵。

假设A和B是两个矩阵，则：

其中B ^-1代表B的倒数。

示例：划分以下矩阵A和B。

解：

A是分子，B是分母。

首先，我们将找到B的逆。

现在将股息矩阵乘以逆矩阵。

标量乘法

当矩阵与标量(常数)相乘时，称为标量乘法。在标量乘法中，我们将矩阵的每个元素乘以标量。

假设给出大小为3×3的矩阵A。

将它乘以常数k，则标量乘法k×A将为：

标量乘法的性质

设A和B两个大小为m×n的矩阵，而a和b为两个标量。然后：

• 关联属性： a(b A)=(ab)A
• 交换性质： aA = Aa
• 分配属性： (a + b)A = aA + b A和a(A + B)= aA + a B
• 身份属性： 1 A = A
• 乘性： OA = O(其中O是零矩阵)

矩阵的逆

假设我们有一个平方矩阵A，其行列式不等于0，则存在一个m×n矩阵A ^-1 ，称为A的逆，使得： AA ^-1 = A ^-1 A = I ，其中我是单位矩阵。

与3×3或4×4矩阵相比，很容易找到2×2矩阵的逆。请按照以下步骤查找2×2矩阵的逆矩阵。

• 交换元素a和d的位置。
• 在b和c前面放一个负号
• 由行列式划分矩阵的每个元素。

例如，A是2×2矩阵。

其行列式为(ad-bc)不等于零，则矩阵的逆值为：

有三种方法可以找到大矩阵的逆。

• 高斯-乔丹法
• 使用仲裁
• 使用矩阵计算器

逆矩阵的性质

• A×A ^-1 =我
• A ^-1 ×A = I
• (A ^-1 ) ^-1 = A
• (A ^-1 ) ^T =(A ^T ) ^-1

转置矩阵

当我们将行转换为列，将列转换为行，并使用此转换生成新矩阵时，称为转置矩阵。用A ^T或A'或A ^tr或A ^t表示。例如，考虑以下矩阵：

上述矩阵的转置为：

转置矩阵的性质

令A和B为两个矩阵，k为实数，则：

• (A ^T ) ^T = A
• (A + B) ^T = A ^T + B ^T
• (AB) ^T = B ^T A ^T
• (kA) ^T = kA ^T

矩阵负数

设A ＝ a _ij是am×n矩阵。矩阵A的负值是m×n矩阵B = b _ij ，使得所有i，j的_{b ij} = -a _ij。矩阵A的负数写为-A 。