📅 最后修改于: 2023-12-03 15:19:20.472000 🧑 作者: Mango
数论变换是一种处理数列的算法，可以将一个数列从一种形式转化为另一种形式，并且在某些情况下可以降低计算的复杂度。Python中有许多库支持数论变换，比如sympy、numpy等。
费马小定理是指在任意质数p和整数a之间，有如下式子成立：
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
其中，mod p表示模运算。利用该式子，我们可以在O(logp)的时间内求出a的p-1次方模p的值。在Python中，可以使用sympy库中的is_prime函数判断一个数是否为质数。
快速幂算法是一种高效的指数运算算法，其基本思想是将指数拆分成二进制位，然后利用二进制位的特性进行计算。在Python中，可以使用以下代码实现快速幂算法：
def qpow(a, b, m):
res = 1 % m
while b:
if b & 1:
res = res * a % m
a = a * a % m
b >>= 1
return res
其中，a为底数，b为指数，m为模数。复杂度为O(logb)。
逆元是指在模运算下，一个数的乘法逆元是指与该数相乘后模运算的结果为1的数。可以证明，若该数与模数互质，则一定存在逆元，否则不存在。在Python中，可以使用以下代码求出a在模p意义下的逆元：
def inv(a, p):
return pow(a, p-2, p)
其中，a为要求逆元的数，p为模数。复杂度为O(logp)。
莫比乌斯函数是一种与数论相关的函数，可以用来求解如下问题：对于一个正整数n，求出所有其正因子的和减去所有其正因子的和为奇数的正因子之和。在Python中，可以使用sympy库中的mobius函数求解。
数论变换在很多算法中都有应用，比如素数判断、快速幂运算、逆元计算等。此外，莫比乌斯函数也有着广泛的应用，比如求解积性函数、定积分变换等。