要求的最小大小的二进制字符串

问题描述

给定一个长度大于等于 2 的正整数 X，要求构造一个二进制字符串，使得在其中随机删除两个 1 的概率为 1，且字符串长度最小。

解决思路

我们可以先思考如果不考虑长度限制，该如何构造字符串。要让删除两个 1 的概率为 1，我们需要使得字符串中有且仅有 2 个 1。这可以通过构造一个 "0101..." 的交替字符串来实现。例如，当 X 为 3 时，构造出的二进制字符串为 "010"。

如果考虑长度限制，我们可以对长度进行分类讨论。

当 X ≤ 3 时

当 X 为 2 或 3 时，可以按照上述方式构造字符串。长度为 2 时，构造 "10"；长度为 3 时，构造 "010"。

当 X > 3 且 X 为奇数时

当 X 为奇数时，构造的字符串长度必定为偶数。这时我们可以在构造的基础上，使得字符串长度 $n$ 满足如下条件：

$$2n-2 \geq X, \quad n \geq 2$$

这个等式的右侧保证了字符串长度不小于 2，而左侧保证了字符串中至少存在 2 个 1。例如，当 X 为 5 时，最小长度的二进制字符串为 "01010"。

因为字符串长度为奇数时删除两个 1 的概率无法为 1，所以我们需要让字符串长度为偶数才能满足要求。

当 X > 3 且 X 为偶数时

当 X 为偶数时，构造的字符串长度必定为奇数。我们可以在构造的基础上，使得字符串长度 $n$ 满足如下条件：

$$2n-1 \geq X, \quad n \geq 2$$

这个等式保证了字符串长度不小于 2，同时字符串中至少存在 2 个 1。例如，当 X 为 6 时，最小长度的二进制字符串为 "010101"。

因为字符串长度为偶数时删除两个 1 的概率无法为 1，所以我们需要让字符串长度为奇数才能满足要求。

实现代码

def get_binary_string(X):
    """
    构造最小长度的二进制字符串，使得随机删除两个 1 的概率为 1。

    Args:
        X (int): 长度大于等于 2 的正整数。

    Returns:
        str: 最小长度的二进制字符串。
    """
    if X <= 3:
        if X == 2:
            return "10"
        else:
            return "010"
    elif X % 2 == 1:
        n = (X + 1) // 2
        return "01" * n
    else:
        n = X // 2
        return "01" * n + "0"

总结

该问题涉及到了概率和计算机科学相关知识，需要在了解这些知识的基础上才能解决。从解决问题的思路可以看出，我们需要进行分类讨论，并根据条件来确定最小长度的二进制字符串。在实现代码时，我们采用了 Python 语言并给出了相应的文档注释。