矩阵中最大的之字形序列

问题描述

在一个矩阵中，找到最长的“之”字形（比如下图中的蓝色数字序列）的长度。

解决方法

动态规划

首先，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

定义 $dp[i][j]$ 表示以 $(i, j)$ 结尾的最长“之”字形序列长度。

因为“之”字形可以是朝上的，也可以是朝下的，所以我们可以维护两个状态：

• $dp1[i][j]$ 表示朝上的“之”字形序列长度
• $dp2[i][j]$ 表示朝下的“之”字形序列长度

我们遍历整个矩阵，对于每个位置 $(i, j)$，我们可以同时更新 $dp1[i][j]$ 和 $dp2[i][j]$。

遍历过程中，如果当前位置 $(i, j)$ 和上一个位置 $(i-1, j)$ 的值相等，则：

• $dp1[i][j]$ 取上一个位置的 $dp1$
• $dp2[i][j]$ 取上一个位置的 $dp2$

如果不相等，则：

• $dp1[i][j]$ 取上一个位置的 $dp2$ 加 $1$
• $dp2[i][j]$ 取上一个位置的 $dp1$ 加 $1$

遍历结束后，在所有的 $dp1[i][j]$ 和 $dp2[i][j]$ 中取最大的即为所求。

时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是矩阵的边长。

代码实现

def longest_zigzag(matrix):
    n = len(matrix)
    m = len(matrix[0])
    dp1 = [[1] * m for _ in range(n)]
    dp2 = [[1] * m for _ in range(n)]
    res = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == matrix[i - 1][j]:
                dp1[i][j] = dp1[i - 1][j]
                dp2[i][j] = dp2[i - 1][j]
            else:
                dp1[i][j] = dp2[i - 1][j] + 1
                dp2[i][j] = dp1[i - 1][j] + 1
            res = max(res, dp1[i][j], dp2[i][j])
    return res

总结

本题可以使用动态规划的方法来解决，时间复杂度为 $O(n^2)$。