最长的之字形子序列

介绍

在一个数组中，如果相邻的两个数大小不同，则可以称为一个“之字形”。例如，数组 [1, 2, 3, 2, 4, 1] 中的子序列 [1, 2, 3, 2, 4, 1] 就是一个“之字形”。现在，我们要找到最长的“之字形子序列”。

例如，数组 [1, 2, 3, 2, 4, 1] 中的最长“之字形子序列”是 [1, 2, 3, 2, 4, 1]。

解题思路

我们可以使用动态规划来解决这个问题。

设 $dp[i][0]$ 表示以第 $i$ 个数结尾的“之字形子序列”的最长长度，其中 $0$ 表示结尾为较小数的“之字形子序列”，$1$ 表示结尾为较大数的“之字形子序列”。

初始化时，$dp[i][0]$ 和 $dp[i][1]$ 的值都为 $1$。

然后根据题意，我们可以得到状态转移方程：

• 如果 $a[i] > a[j]$，且 $dp[j][1]+1 > dp[i][0]$，则 $dp[i][0]=dp[j][1]+1$。
• 如果 $a[i] < a[j]$，且 $dp[j][0]+1 > dp[i][1]$，则 $dp[i][1]=dp[j][0]+1$。

其中，$j$ 是所有在 $i$ 之前且数值比 $a[i]$ 不同的元素。

最终，我们可以通过遍历 $dp$ 数组，找到最大的值作为解。

代码实现

def find_zigzag_sequence(a):
    n = len(a)
    dp = [[1, 1] for _ in range(n)]
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if a[i] > a[j] and dp[j][1] + 1 > dp[i][0]:
                dp[i][0] = dp[j][1] + 1
            if a[i] < a[j] and dp[j][0] + 1 > dp[i][1]:
                dp[i][1] = dp[j][0] + 1

    res = max(max(dp[i]) for i in range(n))
    return res

总结

最长的“之字形子序列”是一道比较经典的动态规划问题，通过这道题，我们可以学习到动态规划算法的思想以及实现方法。