希尔伯特数介绍

希尔伯特数（Hilbert number）是指$n$维欧几里得空间中，满足整数坐标的点和原点之间的曼哈顿距离（$L_1$距离）为正整数的点的个数。希尔伯特数通常记作$H_n$。希尔伯特给出了希尔伯特数的精确公式：

$$H_n = \frac{(n+1)(n+2)^{(n-1)}}{2}$$

其中$n\geqslant 0$。

应用

希尔伯特数在计算几何中有着广泛的应用。例如，在一维的情况下，希尔伯特数代表整数坐标轴上到原点距离为$n$的整数点的数量，所以它可以被用来计算最近邻问题中的一维数量。

在更高的维度中，希尔伯特数可以被用来计算立方体中属于一个超平面两侧的点的数量。这个问题类似于计算数据结构kd树中沿着一个分界线划分的节点的数量。

代码实现

希尔伯特数可以通过上述的精确公式计算。以下是一个Python的实现：

def hilbert_number(n):
    """
    计算n维欧几里得空间中的希尔伯特数
    """
    return (n+1)*(2**(n-1))

性质

以下列出希尔伯特数的一些有趣的性质：

1. 希尔伯特数是整数，且呈现出指数级的增长。
2. $H_n$是偶数当且仅当$n$为偶数，$H_n$是奇数当且仅当$n$为奇数。
3. $H_n$具有周期性，即$H_{2n+1}=2H_n$，$H_{2n}=2H_n-H_{n-1}$。
4. $H_n$充分大时趋近于$2^{n-1}$，即$\lim_{n\to \infty}\frac{H_n}{2^{n-1}}=1$。
5. 从$n$到$n+1$的变化幅度是不对称的，即$H_{n+1}-H_n=(n+2)^n$，而不是$(n+2)^{n-1}$。