信号x(t)的希尔伯特变换定义为这样一种变换，其中信号的所有分量的相角偏移$ \ pm \ text {90} ^ o $。

x(t)的希尔伯特变换用$ \ hat {x}(t)$表示，由下式给出

$$ \ hat {x}(t)= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x(k)\ over tk} dk $$

希尔伯特逆变换由下式给出

$$ \ hat {x}(t)= {1 \ over \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} {x(k)\ over tk} dk $$

x(t)，$ \ hat {x} $(t)称为希尔伯特变换对。

希尔伯特变换的性质

信号x(t)及其希尔伯特变换$ \ hat {x} $(t)具有

• 相同的振幅谱。

• 相同的自相关函数。

• x(t)和$ \ hat {x} $(t)的能量谱密度相同。

• x(t)和$ \ hat {x} $(t)是正交的。

• $ \ hat {x} $(t)的希尔伯特变换是-x(t)

• 如果存在傅立叶变换，则对于能量和功率信号也存在希尔伯特变换。