国际空间研究组织 | ISRO CS 2015 |问题 51

这是来自 ISRO CS 2015 的一道编程问题：

给定一个字符串，需要找到其中的所有可能的回文子字符串。例如，对于字符串 "aaa"，它的所有可能的回文子字符串为 "a"、"a"、"a"、"aa"、"aa" 和 "aaa"。

该问题可以通过回溯法和动态规划两种算法来解决。

回溯法

回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，它通过递归的方式对所有可能的情况进行搜索，在搜索的过程中保存已经搜索到的结果，当发现当前搜索无法继续时，回溯到上一个搜索状态进行下一步尝试。回溯法比较适合解决一些需要枚举所有可能情况的问题，但是通常会有较高的时间复杂度。

对于该问题，我们可以从字符串的每个字符开始向两侧扩展，判断左右两侧字符是否相同，如果相同则将该子字符串作为回文子字符串保存下来，然后递归进入下一个字符进行扩展。具体实现可以参考下面的代码段：

def find_palindromes(s):
    res = []
    n = len(s)
    
    # 判断子串是否为回文
    def is_palindrome(left, right):
        while left < right:
            if s[left] != s[right]:
                return False
            else:
                left += 1
                right -= 1
        return True
    
    # 回溯函数
    def backtrack(start):
        nonlocal res
        if start == n:
            return
        for i in range(start, n):
            if is_palindrome(start, i):
                res.append(s[start:i+1])
                backtrack(i+1)
    
    backtrack(0)
    return res

该函数的时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度是 O(n)。

动态规划

动态规划是一种自底向上的算法，将一个复杂问题分解为若干个简单子问题，并通过保存已经计算过的结果来避免重复计算，从而实现较高效的求解。在该问题中，我们可以定义状态 dp[i][j] 表示字符串从第 i 个字符到第 j 个字符是否为回文字符串，通过填表实现计算。

具体来说，当字符串长度为 1 时，显然是回文字符串；当字符串长度为 2 时，如果两个字符相同，则是回文字符串；当字符串长度大于等于 3 时，如果首尾字符相同且去掉首尾后的子串也是回文字符串，则整个字符串为回文字符串。

dp[i][i] = True
dp[i][i+1] = s[i] == s[i+1]
dp[i][j] = s[i] == s[j] and dp[i+1][j-1] (i < j)

具体实现可以参考下面的代码段：

def find_palindromes(s):
    res = []
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
    for i in range(n-1):
        dp[i][i+1] = s[i] == s[i+1]
    for i in range(n-3, -1, -1):
        for j in range(i+2, n):
            if s[i] == s[j] and dp[i+1][j-1]:
                dp[i][j] = True
    
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if dp[i][j]:
                res.append(s[i:j+1])
    
    return res

该函数的时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度也是 O(n^2)。

总结

回文子字符串是一个常见的问题，本文介绍了两种常用的解决方法：回溯法和动态规划。回溯法简单易懂，但是时间复杂度比较高；动态规划较为高效，但是需要定义状态和填表，代码相对较为复杂。在实际使用中应根据具体情况选择合适的方法。