图中最大和最小孤立顶点

在图论中，一个孤立顶点是一个没有任何连边的顶点。而在一个含有 $n$ 个顶点的图中，最大孤立顶点是指剩下的 $n-1$ 个顶点中度数最小的顶点，而最小孤立顶点是指度数最大的顶点。

在求解图论问题时，寻找图中的最大和最小孤立顶点可以起到一定的优化作用。例如，计算图的连通分量时，先找到最大孤立顶点，将其作为种子结点，可以有效地减少搜索的时间。

下面是 Python 代码片段，用于寻找图中的最大和最小孤立顶点：

import networkx as nx

def max_min_isolated_vertices(G):
    degrees = dict(G.degree())
    max_degree = max(degrees.values())
    max_isolated_vertex = [v for v in degrees if degrees[v] == max_degree][0]
    min_degree = min(degrees.values())
    min_isolated_vertex = [v for v in degrees if degrees[v] == min_degree][0]
    return max_isolated_vertex, min_isolated_vertex

该函数使用 NetworkX 库来表示和操作图，首先通过 G.degree() 方法来获取每个顶点的度数，然后找到度数最大和最小的顶点，返回它们的标识符。

以下是该函数的使用示例：

G = nx.Graph()
G.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)])
max_vertex, min_vertex = max_min_isolated_vertices(G)
print(f"The max isolated vertex is {max_vertex}")
print(f"The min isolated vertex is {min_vertex}")

输出结果：

The max isolated vertex is 4
The min isolated vertex is 1

在本例中，图中最大孤立顶点是顶点 4，最小孤立顶点是顶点 1。