在给定图中找到两个不相交的好顶点集

问题描述

给定一个无向图，找到两个不相交的好顶点集，其中一个集合中的所有顶点与另一个集合中的所有顶点都没有边相连，并且两个集合中的顶点数量相等。

解决方案

前置知识

• 图的遍历（深度优先搜索或广度优先搜索）：用于遍历图中的每个节点。
• 双向图染色算法（二分图算法）：用于检查给定的图是否是二分图，并返回两个不相交的好顶点集。

算法思路

1. 对给定的无向图进行遍历，为每个节点分配“蓝色”或“红色”。
2. 如果给定的图中存在一个节点和它的邻居节点的颜色相同，则该图不是二分图。直接返回。
3. 否则，将所有蓝色节点放入第一个集合中，将所有红色节点放入第二个集合中。
4. 返回这两个不相交的好顶点集。

代码示例

def is_bipartite(graph: List[List[int]]) -> Union[Tuple[Set[int], Set[int]], None]:
    """
    检查给定图是否是二分图，并返回两个不相交的好顶点集。
    """
    color = {}
    for node in range(len(graph)):
        color[node] = None

    def dfs(node: int, c: int) -> bool:
        color[node] = c
        for neighbor in graph[node]:
            if color[neighbor] is None:
                if not dfs(neighbor, 1 - c):
                    return False
            elif color[neighbor] == c:
                return False
        return True

    for node in range(len(graph)):
        if color[node] is None:
            if not dfs(node, 0):
                return None

    return set(node for node, c in color.items() if c == 0), set(node for node, c in color.items() if c == 1)

时间复杂度

由于算法是先对给定图进行一遍深度优先搜索，时间复杂度为 $O(V+E)$。对于每个节点都会赋值颜色，因此时间复杂度无法进一步优化。

空间复杂度

使用了一个字典记录每个节点的颜色，占用空间为 $O(V)$。因此，总空间复杂度为 $O(V)$。

总结

本文介绍了如何在给定图中找到两个不相交的好顶点集。算法基于双向图染色算法（即二分图算法），并使用深度优先搜索进行实现。在实际开发中，我们可以使用该算法来检查给定的图是否是二分图，或者在需要将图进行分组的场景中使用。