最长分割子序列

简介

最长分割子序列 (Longest Divisible Subsequence，简称LDS) 是指在一个数组中找到最长的子序列，使得该子序列中的任意两个数，前者能整除后者。比如，[1, 3, 6, 13, 39] 的最长分割子序列是 [1, 3, 6, 39]。

考虑到 LDS 只需要在满足除数关系的情况下寻找最长的子序列，有很多种方法可以解决这个问题。本文介绍两种算法：动态规划和贪心算法。

动态规划

动态规划是一种自底向上的算法，通过存储计算的结果来减少重复的计算。对于 LDS，我们需要用一个数组来存储以每个数字为结尾的最长分割子序列的长度。我们将数组命名为 dp。

首先，dp[i] 的初始值为 1，因为任何数字都可以单独成为子序列。然后，我们需要遍历数组，对于每个数字，我们需要遍历其前面的所有数字，分别计算它们是否可以被该数字整除。如果可以整除，我们需要更新 dp[i] 的值为前面某个数字的最长分割子序列长度加一。这样一来，我们就可以得到以每个数字为结尾的最长分割子序列的长度。最终，我们只需要选取 dp 数组中的最大值即可。

下面是动态规划算法的代码：

def longest_divisible_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[i] % arr[j] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

动态规划算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是数组的长度。空间复杂度为 $O(n)$。

贪心算法

贪心算法是一种每次选择当前最优解，从而得到全局最优解的算法。对于 LDS，我们可以先将数组排序，然后从后往前遍历数组。对于每个数字，我们需要遍历其后面的所有数字，分别计算它们是否可以整除该数字。如果可以整除，我们需要将其删去。因为如果一个数字可以整除它后面的某个数字，则这个数字并不能成为最长分割子序列的一部分。

下面是贪心算法的代码：

def longest_divisible_subsequence(arr):
    arr = sorted(arr)
    n = len(arr)
    dp = [1] * n
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] % arr[i] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

贪心算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是数组的长度。因为数组需要排序，所以贪心算法的时间复杂度略高于动态规划算法。空间复杂度为 $O(n)$。

总结

LDS 是一道经典的动态规划问题，可以用动态规划和贪心算法进行求解。动态规划算法需要使用一个数组来存储每个数字为结尾的最长分割子序列的长度。贪心算法则是先将数组排序，然后从后往前遍历，每次选择当前最优解。两种算法的时间复杂度均为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。