快速傅里叶变换 (FFT)

简介

快速傅里叶变换 (FFT) 是一种高效的计算离散傅里叶变换 (DFT) 的算法。它通常被用于信号处理、数据压缩、图像处理等领域。

相比于暴力计算 DFT 的 O(N^2) 时间复杂度，FFT 可以将复杂度优化到 O(N log N)，使得在计算大规模数据时更加高效。

算法原理

FFT 的算法原理基于将 DFT 的计算分治（Divide and Conquer）到较小规模的计算中，以达到优化计算复杂度的目的。

在 DFT 的计算中，若将 x(n) 分解为偶数项和奇数项：

x(n) = x_even(n) + x_odd(n)

则 DFT 的计算可以变化为：

W_N(n, k) = W_N^2(n / 2, k) + W_N(n / 2 + k, k) * e^(-2 * i * pi * k / N)

其中 W_N(n, k) 表示 N 点 DFT 中，k 点的频率在第 n 个采样点的幅度。

若采用分治思想，可以将 x(n) 递归地分解到长度为 1 的序列，再根据上式计算出 W_N(n, k)。

由于分治到每个长度为 1 的序列时可以直接计算其 DFT，因此可以减少计算量并优化复杂度。

代码实现

import cmath

def fft(x):
    # 递归结束条件
    if len(x) == 1:
        return x

    # 分治
    even = fft(x[::2])
    odd = fft(x[1::2])

    # 合并
    N = len(x)
    T = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / N) * odd[k] for k in range(N//2)]
    return [even[k] + T[k] for k in range(N//2)] + [even[k] - T[k] for k in range(N//2)]

x = [0, 1, 2, 3]
print(fft(x))

以上代码实现了一个简单的 FFT 算法，接受一个长度为 N 的列表 x，返回其 FFT 的结果。

总结

FFT 是一个高效的计算 DFT 的算法，在信号处理、数据压缩、图像处理等领域有着广泛应用。实际中除了以上实现方式，还有诸如 Cooley-Tukey FFT 等其他实现方法，可以根据具体需求选择不同的实现方式。