元音的最长排序子序列

在一个字符串中，如果包含元音字母(a, e, i, o, u)，则称为元音字符串。给定一个字符串，求它的最长的元音排序子序列。元音排序子序列是指子序列中的元音字母按照字母表顺序增加。

举例来说，对于字符串 "abacdaeiotu"，其中包含了字母集合 {a, e, i, o, u}，则其最长的元音排序子序列为 "aeiou"。

解题思路

这是一道动态规划问题。

设 $dp[i]$ 为以第 $i$ 个字符结尾的元音排序子序列的长度。

则有转移方程：

$$dp[i] = \begin{cases} dp[i-1]+1, & s[i] \in \text{aeiou} \text{ 且 } s[i] > s[j]\ dp[i-1], & s[i] \not\in \text{aeiou} \text{ 或者 } s[i] \leq s[j] \end{cases}$$

其中，$j$ 为第一个满足 $s[j] \in \text{aeiou}$ 且 $s[j]>s[i]$ 的下标。

最终答案即为 $dp$ 数组中的最大值。

代码实现

以下为 Python 的代码实现：

def find_longest_vowel_subsequence(s: str) -> int:
    # 初始化 dp 数组
    dp = [1 if c in "aeiou" else 0 for c in s]
    for i in range(1, len(dp)):
        j = 0
        # 计算 j
        for k in range(i):
            if s[k] in "aeiou" and s[k] < s[i]:
                j = max(j, k+1)
        # 更新 dp[i]
        if s[i] in "aeiou" and j > 0:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j-1]+1)
        else:
            dp[i] = dp[i-1]
    return dp[-1]

时间复杂度

此算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 为字符串的长度。