计算唯一路径是一个矩阵，其元素乘积包含奇数个除数

这是一个计算矩阵唯一路径的问题，其元素乘积必须包含奇数个因数。

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中的元素为正整数。矩阵的左上角是起点，右下角是终点。从起点开始，每次只能向右或向下移动一格，直到到达终点。求所有可能的路径中，元素乘积包含奇数个因数的路径数。

解题思路

为了方便起见，我们将矩阵中的元素乘积记为 $P$。对于一个正整数 $n$，其因数总数为其分解质因数后各质因子指数加1的积。设 $n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdot \cdots \cdot {p_k}^{a_k}$，则 $n$ 的因数个数为 $(a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot \cdots \cdot (a_k+1)$.

因此，我们只需要统计路径上元素因数分解质因数后每个质因子指数的奇偶性。设当前位置 $(i, j)$ 上的元素为 $a_{i,j}$，则该位置的因数个数为 $(x_1+1)\cdot(x_2+1)\cdot(x_3+1)\cdots$，其中 $x_1, x_2, x_3, \dots$ 分别表示 $a_{i,j}$ 分解质因数后每个质因子的指数。只要有一个 $x_i$ 是奇数，那么 $(i, j)$ 所在路径的元素乘积就包含奇数个因数。

为了统计所有可能路径中元素乘积包含奇数个因数的路径数，我们可以利用动态规划的思想。设 $f_{i,j}$ 表示从起点 $(1,1)$ 到位置 $(i,j)$ 上的所有路径中，元素乘积包含奇数个因数的路径数。则有：

$$ f_{i,j} = \begin{cases} 1, & \text{if } a_{i,j} = 1 \ 0, & \text{if } a_{i,j} \text{ 是偶数} \ f_{i-1,j} + f_{i,j-1}, & \text{if } a_{i,j} \text{ 是奇数} \end{cases} $$

其中第一行和第一列上的路径只有一条，不需要特殊处理：

$$ f_{i,1} = f_{1,j} = 1, ~~ (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) $$

最终答案为 $f_{m,n}$，即从起点到终点的所有路径中，元素乘积包含奇数个因数的路径数。

代码实现

以下是 Python 3 代码实现，时间复杂度为 $O(mn)$。

def count_odd_paths(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    f = [[0] * n for _ in range(m)]
    f[0][0] = 1 if matrix[0][0] % 2 != 0 else 0
    for i in range(1, m):
        f[i][0] = f[i-1][0] if matrix[i][0] % 2 == 0 else f[i-1][0]
    for j in range(1, n):
        f[0][j] = f[0][j-1] if matrix[0][j] % 2 == 0 else f[0][j-1]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            if matrix[i][j] % 2 == 0:
                f[i][j] = 0
            else:
                f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]
    return f[m-1][n-1]

总结

本题是一道比较有趣的计数问题，其核心思想在于如何判断一个数的因数个数是否为奇数。通过分解质因数并计算每个质因子指数的奇偶性，我们可以快速得到结果。同时，通过动态规划的思想，我们可以将问题转化为一个二维表格的填充问题，在 $O(mn)$ 的时间内得到答案。