UGC-NET CS 2017 年 11 月 – III 问题 34

简介

UGC-NET CS 2017 年 11 月 – III 问题 34 是计算机科学研究生入学考试中的一道重要题目，涉及到的知识领域广泛，需要程序员具备扎实的计算机基础知识和解题能力。

本题要求程序员实现一个算法，找到一个长度为 n 的整数序列中，子串的最大和。该算法需要满足时间复杂度为 O(n*log(n)) 或更优。

题目分析

本题为计算机科学入门级别的动态规划问题。它的解决思路可以分为以下几个步骤：

1. 首先，我们定义 dp[i] 表示以 i 结尾的以正数开头的最大子序列的和。因为本题要求子序列必须以正数开头，所以用 dp[i] 而不是 dp[i][j] 表示最大和。

2. 然后，我们从左到右扫描整个序列，对于每一个 i，都有以下两个选择：

   • 将 i 加入当前子序列，即 dp[i] = dp[i-1] + a[i]。

   • 将 i 作为新的子序列的起点，即 dp[i] = a[i]。

   在这两种情况中，我们只需要记录 dp[i] 的最大值，就可以得到以 i 结尾以正数开头的最大子序列的和。

3. 最后，我们遍历 dp 数组，找到其中的最大值即可。

在实现算法时，需要注意以下几点：

• 需要初始化 dp[0] = 0，因为以第一个元素结尾的子序列只有一个元素，不满足以正数开头的要求；

• 对于以负数开头的子序列，可以直接忽略，因为它们对最终答案没有任何贡献；

• 由于本题要求时间复杂度为 O(n*log(n)) 或更优，我们可以使用分治算法来优化求解过程。

代码实现

下面是一份参考实现的 Python 代码，使用分治算法实现时间复杂度为 O(n*log(n))：

def max_subarray_sum(a, left, right):
    if left == right:
        return 0

    mid = (left + right) // 2
    left_sum = max_subarray_sum(a, left, mid)
    right_sum = max_subarray_sum(a, mid+1, right)

    left_max_sum = a[mid]
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid-1, left-1, -1):
        tmp_sum += a[i]
        left_max_sum = max(left_max_sum, tmp_sum)

    right_max_sum = a[mid+1]
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid+2, right+1):
        tmp_sum += a[i]
        right_max_sum = max(right_max_sum, tmp_sum)

    return max(left_sum, right_sum, left_max_sum + right_max_sum)

def max_subarray_sum_dp(a):
    n = len(a)
    dp = [0] * n
    ans = dp[0] = max(0, a[0])

    for i in range(1, n):
        if a[i] > 0:
            dp[i] = dp[i-1] + a[i]
        else:
            dp[i] = a[i]
        ans = max(ans, dp[i])

    if ans == 0:
        ans = max(a)

    return ans

def max_subarray_sum_fast(a):
    return max_subarray_sum_dp(a)

print(max_subarray_sum_fast([1, -2, 3, 4, -5, 6, 7, -8, 9]))

上面的代码实现了两个函数 max_subarray_sum 和 max_subarray_sum_dp，其中 max_subarray_sum 使用分治算法实现，时间复杂度为 O(n*log(n))，max_subarray_sum_dp 使用动态规划实现，时间复杂度为 O(n)。max_subarray_sum_fast 函数是一个包装函数，用于在测试时选择使用 faster 或 slower 的算法。这个例子中使用了 max_subarray_sum_dp 函数。

下面是这段代码的 markdown 格式：

```python
def max_subarray_sum(a, left, right):
    if left == right:
        return 0

    mid = (left + right) // 2
    left_sum = max_subarray_sum(a, left, mid)
    right_sum = max_subarray_sum(a, mid+1, right)

    left_max_sum = a[mid]
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid-1, left-1, -1):
        tmp_sum += a[i]
        left_max_sum = max(left_max_sum, tmp_sum)

    right_max_sum = a[mid+1]
    tmp_sum = 0
    for i in range(mid+2, right+1):
        tmp_sum += a[i]
        right_max_sum = max(right_max_sum, tmp_sum)

    return max(left_sum, right_sum, left_max_sum + right_max_sum)

def max_subarray_sum_dp(a):
    n = len(a)
    dp = [0] * n
    ans = dp[0] = max(0, a[0])

    for i in range(1, n):
        if a[i] > 0:
            dp[i] = dp[i-1] + a[i]
        else:
            dp[i] = a[i]
        ans = max(ans, dp[i])

    if ans == 0:
        ans = max(a)

    return ans

def max_subarray_sum_fast(a):
    return max_subarray_sum_dp(a)

print(max_subarray_sum_fast([1, -2, 3, 4, -5, 6, 7, -8, 9]))
```

总结

通过本题的分析和实现，我们了解了动态规划问题的基本思路，并学会了使用分治算法优化求解过程的方法。通过这种练习，我们可以提高自身的计算机科学基础知识和解题能力，更好地应对实际工作中的计算机科学问题。