原始性测试|第三组(米勒-拉宾)

简介

原始性测试是一个判断一个数是否为质数的算法。第三组原始性测试，也称米勒-拉宾算法（Miller-Rabin），是最常用的原始性测试算法之一。它的特点是简单易懂、实现简单、速度快。相较于传统的试除法，它在实际应用中更为广泛。

算法原理

米勒-拉宾算法基于的数论结论是费马小定理：对于任何质数$p$和整数$a$，有$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。利用费马小定理可以得到一个随机数$a$的$p-1$次方模$p$的余数，它要么等于1，要么等于-1（也就是$p-1$），如果$a^{p-1} \not \equiv 1 \pmod{p}$ 且 $a^{(p-1)/2} \not \equiv \pm 1 \pmod{p}$ 那么$p$一定是合数。

这个算法要使用一个随机选取的整数$a$，因为对于大部分合数不止有一个符合以上条件的整数，随机选取更能保证准确性。

算法步骤

1. 将$n$ - 1 分解为 $2^{r}d$，其中 $d$ 为奇数。
2. 选择一个随机整数$a \in [2, n-2]$。
3. 计算 $a^{d}, a^{2d}, ..., a^{2^{r-1}d}$。
4. 如果存在 $i \in [0, r-1]$，满足 $a^{2^{i}d} \equiv -1 \pmod{n}$，则认为 $n$ 可能是质数，结束算法。
5. 如果对于所有 $i\in[0,r-1]$，都有 $a^{2^{i}d} \not \equiv - 1 \pmod{n}$，则认为 $n$ 是合数，结束算法。

重复进行多次以上过程，即可大大提高正确性。