国际空间研究组织 | ISRO CS 2018 |问题 40

这是一道关于计算数列的问题，给定一个数列和一个数K，需要找出数列中长度大于等于K且乘积最大的子序列。数列中的数都是正整数。

解题思路

这道题可以使用动态规划来解决。具体思路如下：

1. 定义数组$dp[i][j]$表示以第 $i$ 个元素结尾，长度为 $j$ 的最大子序列乘积。

2. 初始化$dp[i][1]=a[i]$。

3. 状态转移方程为：

   $dp[i][j]=\max{dp[k][j-1]*\prod_{l=k+1}^{i}a[l]}$，其中$k\in[1,i-1]$。

4. 最后答案即为$\max\limits_{j\geq K}{dp[i][j]}$。

代码实现

以下是实现动态规划的 python 代码片段：

# a 为给定的数列，K 为给定的正整数。
n = len(a)

# 初始化 dp 数组
dp = [[0 for i in range(n+1)] for j in range(n+1)]
for i in range(n):
    dp[i+1][1] = a[i]

# 动态规划
for j in range(2, n+1):
    for i in range(j, n+1):
        for k in range(j-1, i):
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j-1] * functools.reduce(lambda x, y: x*y, a[k:i]))

# 找到长度大于等于 K 且乘积最大的子序列
ans = max(dp[i][K] for i in range(K, n+1))

# 输出结果
print(ans)

注意，我们在计算$dp[i][j]$时，使用了functools.reduce(lambda x, y: x*y, a[k:i])来计算$a[k],a[k+1],...,a[i-1]$这个子序列的乘积。这个函数的作用是对序列中所有元素求积，与下面的代码等价：

multiplier = 1
for l in range(k, i):
    multiplier *= a[l]

整个函数的时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$。