在 Julia 中映射矩阵

在 Julia 中，矩阵是一种常见的数据类型，它由数值组成的二维数组。映射矩阵则是在数学中的一种常见概念，用于描述映射关系。

创建映射矩阵

在 Julia 中，我们可以使用 Dict（字典）类型来创建映射矩阵。下面是一个例子：

map_dict = Dict(
    1 => [2, 3, 4],
    2 => [4, 5],
    3 => [1],
    4 => [2, 3, 5],
    5 => [1, 2]
)

上面这个 Dict 中的每个键都代表一个矩阵的行，对应的值是该行上非零元素的列下标。比如，第一行的非零元素在第二列、第三列和第四列上。

将映射矩阵转换为稀疏矩阵

虽然 Dict 可以表示映射矩阵，但是在进行某些操作时，比如矩阵乘法、求矩阵的逆等，我们需要将其转换为更加常见的矩阵类型，比如 SparseMatrixCSC。

要将 Dict 转换为 SparseMatrixCSC，我们可以使用 sparse 函数。下面是一个例子：

using SparseArrays
n = 5
map_dict = Dict(
    1 => [2, 3, 4],
    2 => [4, 5],
    3 => [1],
    4 => [2, 3, 5],
    5 => [1, 2]
)

# 将映射矩阵转换为稀疏矩阵
map_sparse = sparse([i for i in keys(map_dict)], [j for vals in values(map_dict) for j in vals], ones(Int, length([j for vals in values(map_dict) for j in vals)]), n, n)

# 输出稀疏矩阵
println(map_sparse)

上面的代码中，我们首先导入了 SparseArrays 模块，然后使用 sparse 函数将 Dict 转换为了稀疏矩阵 map_sparse。其中，sparse 函数的第一个参数是行下标的数组，第二个参数是列下标的数组，第三个参数是对应元素的数组，第四个和第五个参数是矩阵的行数和列数。

使用映射矩阵

得到了映射矩阵的稀疏矩阵表示之后，我们可以像处理其他类型的矩阵一样处理它。例如，我们可以计算该矩阵的逆矩阵：

# 求逆矩阵
map_sparse_inv = inv(map_sparse)

# 输出逆矩阵
println(map_sparse_inv)

值得一提的是，由于映射矩阵通常是非常稀疏的，因此使用稀疏矩阵来存储将减少内存占用和计算开销。同时，在处理非常大的映射矩阵时，稀疏矩阵的优势更加明显。