二进制数组中的最小翻转

给定长度为 n 的二进制数组 arr 和整数 k，翻转 arr 中的一些连续的数位，使得大小为 k 的连续子数组的异或具有不同的奇偶校验。需要输出最小需翻转的次数。如果无法满足条件，返回 -1。

思路

首先，我们可以通过暴力枚举来实现此问题。从数组的第一个元素开始遍历，每次检查从当前元素开始的连续 k 个元素的异或值是否为偶数。如果是偶数，那么就将这 k 个元素进行翻转。这样做的时间复杂度为 O(nk)。

通过观察，我们可以发现，最小的翻转次数一定不会超过 2，因为每次翻转都只影响 k 个元素的奇偶性，而一个长度为 n 的数组最多只有 n-k+1 个 k 元素的连续子数组。

接着，我们可以尝试优化上述算法。我们可以使用一个数组来记录当前位置对应的奇偶性。具体地，如果当前元素为 0，则存储为 0，否则存储为 1。然后我们可以使用一个滑动窗口来遍历整个数组。每次移动窗口时，计算当前窗口的异或和，然后判断该异或和的奇偶性是否与前一个窗口的相同，如果相同，则需要翻转当前窗口的最后一个元素，使得当前窗口的异或和奇偶性与之前的窗口不同。这种方法的时间复杂度为 O(n)。代码如下：

def min_flips(arr, k):
    # 将 0 转换为 0，将 1 转换为 1
    arr = [i % 2 for i in arr]
    n = len(arr)
    # 维护一个长度为 k 的窗口
    window = arr[:k]
    xor = sum(window)
    # 维护窗口的奇偶性
    parity = xor % 2
    # 记录需要翻转的元素个数
    flips = 0
    for i in range(k, n):
        # 移动窗口，更新窗口的异或和和奇偶性
        xor += arr[i] - arr[i-k]
        parity ^= arr[i] ^ arr[i-k]
        # 如果当前窗口的奇偶性与前一个窗口相同，需要翻转最后一个元素
        if parity == 0:
            flips += 1
            window[-1] ^= 1
            parity ^= 1
    # 检查最后一个窗口的奇偶性
    if parity == 0:
        flips += 1
    # 如果无法满足条件，返回 -1
    if flips > n:
        return -1
    return flips

复杂度分析

对于暴力枚举方法，时间复杂度为 O(nk)。对于优化后的方法，时间复杂度为 O(n)，因为在窗口滑动的过程中，每个元素只会被遍历一次。如果数组中的元素可以为任意整数，那么在计算异或和时需要使用 hash 表来进行优化，由于时间复杂度取决于 hash 表的大小，因此最坏情况下的时间复杂度为 O(nk)。由于本题中所有元素都是 0 或 1，因此无需使用 hash 表，可以直接使用一个整数来记录异或和，时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度为 O(k)，因为需要使用一个窗口来存储连续的 k 个元素。