UGC NET CS 2016 年 8 月 – III |问题 27

该问题关注于数据结构和算法方面。它要求程序员思考如何使用最小生成树算法求解一个指定问题。

问题描述

给定一个加权完全无向图G = (V,E)，其中每个边e∈E都有一个不同的正整数权值。请为G设计一个算法，找到两个结点v,w∈V，使得它们之间的最短路径权值最大。请分析算法的时间复杂度。

解决方案

要解决这个问题，我们可以使用最小生成树（MST）算法。

我们可以使用Kruskal或Prim算法来构造MST。然后，我们只需要找到MST中连接v和w的边中的最大权值即可。

具体而言，我们可以使用Prim算法来构造MST。这是因为，Prim算法具有以下性质：

• 它选择的总边数与节点数相同。
• 它保证对于任何顶点x∈V，MST中连接x和另一个顶点y的边都在集合中。
• 它总是选择MST中边权值最小的边进行扩展。

因此，如果我们执行Prim算法并获得MST，我们只需要遍历MST，找到连接v和w的最大边即可。

接下来，让我们考虑时间复杂度。Prim算法的复杂度为O(E log V)。由于该问题中的图是完全无向的，因此E = V * (V-1) / 2，其中V是节点数。因此，我们可以将Prim的复杂度表示为O(V² logV)。

代码片段

以下是使用Prim算法解决该问题的示例代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 5005;
const int INF = INT_MAX;

int n, m, s, t, ans = -1, d[MAXN], p[MAXN];
bool used[MAXN];
vector < pair <int, int> > g[MAXN];

void prim()
{
    priority_queue < pair <int, int> , vector < pair <int, int> >, greater < pair <int, int> > > q;

    for(int i = 1; i <= n; i++) d[i] = INF;

    d[s] = 0;
    q.push(make_pair(0, s));

    while(!q.empty())
    {
        int v = q.top().second;
        q.pop();

        if(used[v]) continue;
        used[v] = true;

        for(int i = 0; i < g[v].size(); i++)
        {
            int to = g[v][i].first, w = g[v][i].second;

            if(!used[to] && d[to] > w)
            {
                d[to] = w;
                p[to] = v;
                q.push(make_pair(d[to], to));
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        g[u].push_back(make_pair(v, w));
        g[v].push_back(make_pair(u, w));
    }

    cin >> s >> t;

    prim();

    for(int i = t; i != s; i = p[i])
        ans = max(ans, d[i]);

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

注意到程序中使用了STL的priority_queue和vector来实现Prim算法和存储图。该代码片段应该能够很好地解决该问题，且具有较高的效率。