计算提供排名的方法的数量

在学生成绩排名中，有可能会出现多个学生得到相同的分数，从而需要提供相同的排名。那么如何计算提供排名的方法的数量呢？下面我们来探讨一下。

问题分析

假设有 $N$ 个学生，每个学生的分数是唯一的，但有可能出现多个学生得到相同的分数。我们需要为每个学生提供排名，排名规则如下：

• 分数高的学生排名靠前
• 如果有多个学生得到相同的分数，则他们的排名相同，且下一个学生的排名应该跳过这些学生。

举个例子，假如有五个学生，他们的分数分别是：90，80，75，90，85。那么他们的排名应该是：1，2，3，3，5。其中第 1、4 名学生的分数相同，所以排名也相同。

那么问题来了，如何计算提供排名的方法的数量呢？

解法分析

我们先来思考一个比较简单的情况：如果所有学生的分数都不同，那么提供排名的方法数就是 $N!$，因为对于每个学生，我们都有确定的一种排名方案，而每个学生的排名互不影响，因此可以直接相乘。

但现在的情况是，有可能会出现多个学生得到相同的分数。这意味着对于这些学生，我们需要在他们之间随意分配排名，但是这些学生的排名和下一个学生的排名是有关系的。

我们可以用一个例子来说明。假如有五个学生，他们的分数分别是：90，80，75，90，85。那么实际需要分配排名的只有三个学生，分别是 1 号、4 号和 5 号。假设我们先按照分数从高到低将这三个学生排序，得到的顺序是：1 号、4 号、5 号。

对于这三个学生的排名方案，我们可以这样划分：首先确定这三个学生之间的排名关系，然后再将剩下的两个学生的排名方案乘到后面。假设 1 号学生的排名是 $r_1$，4 号学生的排名是 $r_2$，5 号学生的排名是 $r_3$，那么总的排名方案数可以写成：

$$ f = \binom{N}{3} \times 3! \times (N-3)! $$

其中 $\binom{N}{3}$ 表示从 $N$ 个学生中选出 3 个学生的方案数，$3!$ 表示 1 号、4 号、5 号学生之间的排名方案数，$(N-3)!$ 表示剩下两个学生之间的排名方案数。

但这个式子并不完整，因为还需要考虑到相同分数的学生可能不止 3 个。我们可以把相同分数的学生看作同一组，然后对每一组重复上面的过程。假设有 $k$ 组相同分数，则总的排名方案数可以写成：

$$ f = \binom{N}{n_1,n_2,\ldots,n_k} \times m! \times \prod_{i=1}^k (n_i - 1)! \times (N-m)! $$

其中 $\binom{N}{n_1,n_2,\ldots,n_k}$ 表示从 $N$ 个学生中选出 $k$ 组分数相同的学生，分别有 $n_1,n_2,\ldots,n_k$ 个的方案数，$m=\sum_{i=1}^k n_i$ 表示分数相同的学生的总数，$m!$ 表示分数相同的学生之间的排名方案数，$\prod_{i=1}^k (n_i - 1)!$ 表示每组分数相同的学生之间的排名方案数，$(N-m)!$ 表示剩下的学生之间的排名方案数。

实现代码

下面是一个简单的 Python 实现代码：

import math

def count_ranking_methods(scores):
    counter = {}
    for score in scores:
        counter[score] = counter.get(score, 0) + 1
    n_choices = list(counter.values())
    n_students = len(scores)
    n_groups = len(n_choices)
    n_total = math.factorial(n_students)
    n_total //= math.prod([math.factorial(n-1) for n in n_choices])
    n_total *= math.factorial(n_groups)
    n_total //= math.prod([math.factorial(n) for n in n_choices])
    return n_total

主要思路是将每个分数出现的次数记录下来，然后按照上面的公式计算。需要注意的是，Python 中可以用 math.factorial 函数来计算阶乘，这样更加方便。