计算权重恰好为 X 且至少有一条权重为 M 的边的路径数

这是一个计算图中满足特定条件的路径数量的问题。具体而言，需要计算图中所有权重之和恰好为 X，且至少包含一条权重为 M 的边的路径数量。以下介绍两种解决方案。

解决方案一：深度优先搜索

深度优先搜索是图论中经典的算法之一，它可以用来搜索一张图中所有从起点到终点的路径。对于本问题，可以先从图中所有权重恰好为 M 的边出发，以它们作为深度优先搜索的起点，搜索所有权重之和恰好为 X，且经过至少一条权重为 M 的边的路径。具体实现如下：

def dfs(graph, start, target_weight, min_weight):
    paths = []
    visited = set()
    stack = [(start, 0, [])]
    while stack:
        node, cur_weight, path = stack.pop()
        if node in visited:
            continue
        if cur_weight == target_weight and any(w == min_weight for w in path):
            paths.append(path)
            continue
        visited.add(node)
        for neighbor, weight in graph[node]:
            stack.append((neighbor, cur_weight+weight, path+[weight]))
    return paths

其中， graph 是图的邻接表表示， start 是起点， target_weight 是目标权重， min_weight 是要求至少包含的最小权重。该函数返回所有符合要求的路径列表。

解决方案二：动态规划

动态规划是一种常用的优化算法，它可以用来解决计数问题。对于本问题，可以设计状态 f[i][j][k] 表示考虑前 i 条边，权重之和为 j，且至少包含一条权重为 k 的路径的方案数。具体转移方程如下：

$$ f[i][j][k] = \begin{cases} f[i - 1][j][k], \quad \text{if } w_i > j \text{ or } w_i < k \ f[i - 1][j][k] + \sum_{0 \leq l < k} f[i - 1][j - w_i][l], \quad \text{if } j \geq w_i \text{ and } k \leq w_i \end{cases} $$

其中， $w_i$ 表示第 $i$ 条边的权重。上式的含义是，当前考虑第 $i$ 条边，它可以与前面的一些边构成一条新的路径，也可以不选它。

具体实现如下：

def count_paths(graph, target_weight, min_weight):
    n = len(graph)
    f = [[[0] * (min_weight+1) for _ in range(target_weight+1)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j, w in graph[i]:
            if w <= target_weight:
                f[1][w][w] += 1
    for i in range(2, n):
        for j in range(1, target_weight+1):
            for k in range(min_weight+1):
                if j < k or j > min(target_weight, j+k) or k > j:
                    continue
                f[i][j][k] += f[i-1][j][k]
                for l in range(k):
                    if j-w > 0 and j-w < target_weight:
                        f[i][j][k] += f[i-1][j-w][l]
    return sum(f[-1][target_weight])

其中， graph 是图的邻接表表示， target_weight 是目标权重， min_weight 是要求至少包含的最小权重。该函数返回符合要求的路径数量。

总结

以上是两种解决方案，可以根据实际情况选择适合自己的方法。对于小规模的图，深度优先搜索可能更加直观简单，而对于大规模的图，动态规划则可以更加高效。