在边缘权重为0或1的完整图形中查找MST的权重

在计算机科学中，最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一个连通图的最小生成子图，且包含图中所有顶点的边的权值之和最小。有时候，我们需要在边缘权重为0或1的完整图形中找到 MST 的权重。本文将介绍如何实现这一过程。

Kruskal 算法

Kruskal 算法是一种基于贪心策略的算法，用于查找完整图形的最小生成树。算法的基本思路是：将图中的每一个点视为一个单独的连通分量，然后按照边的权重从小到大进行排序，每次选择一条未加入 MST 的边，如果这条边的两个端点不在同一连通分量中，就将它们加入同一连通分量中。重复上述步骤，直到所有点都在同一个连通分量中。

对于边缘权重为 0 或 1 的完整图形，我们可以通过转化成一个 01 矩阵来实现 Kruskal 算法。具体来说，矩阵的每一行和每一列代表图中的一个顶点，如果它们之间有边相连，则将对应的元素设为 1，否则设为 0。这样，我们就可以将原图转化为一个 01 矩阵，然后通过 Kruskal 算法来查找生成树。

下面是使用 Python 实现 Kruskal 算法的代码片段：

def kruskal(n, edges):
    parent = list(range(n))
    rank = [0] * n

    def find(v):
        if parent[v] != v:
            parent[v] = find(parent[v])
        return parent[v]

    def union(s, t):
        ps, pt = find(s), find(t)
        if ps != pt:
            if rank[ps] > rank[pt]:
                parent[pt] = ps
            else:
                parent[ps] = pt
                if rank[ps] == rank[pt]:
                    rank[pt] += 1

    edges.sort()
    mst_weight = 0
    for u, v, w in edges:
        if find(u) != find(v):
            union(u, v)
            mst_weight += w

    return mst_weight

Prim 算法

Prim 算法是另一种用于查找完整图形的最小生成树的算法。算法的基本思路是：以一个任意顶点作为起点，然后继续选择未加入 MST 的权重最小的边，并将边所连接的顶点加入 MST 中。重复这一过程，直到所有点都在 MST 中。

对于边缘权重为 0 或 1 的完整图形，我们可以通过将起点看作 1，将其他点看作 0，然后通过 Prim 算法来查找生成树。具体来说，我们为每个顶点分配一个距离值，然后选择距离值最小的点作为下一个要加入 MST 的点，并更新其他点的距离值。这个过程可以通过使用堆来实现，从而将 Prim 的时间复杂度降低为 O(E log V)，其中 E 指边数，V 指顶点数。

下面是使用 Python 实现 Prim 算法的代码片段：

import heapq

def prim(n, start, edges):
    pq = [(0, start)]
    visited = [False] * n
    dist = [float('inf')] * n
    dist[start] = 0
    mst_weight = 0

    while pq:
        weight, u = heapq.heappop(pq)
        if visited[u]:
            continue
        visited[u] = True
        mst_weight += weight
        for v, w in edges[u]:
            if not visited[v] and w < dist[v]:
                dist[v] = w
                heapq.heappush(pq, (w, v))

    return mst_weight

总结

在边缘权重为 0 或 1 的完整图形中查找 MST 的权重是一个常见的问题。我们可以通过 Kruskal 或 Prim 算法来实现这一过程。具体来说，对于 Kruskal 算法，我们将图转化为一个 01 矩阵并使用并查集来查找生成树；对于 Prim 算法，我们使用堆来实现查找生成树。这两种算法都具有良好的时间复杂度，并且在实际应用中得到了广泛的应用。