证明

以下证明过程中，所有角度均为弧度制。

首先，根据正切和余切的定义可得：

$$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A},\ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $$

由此可得：

$$ \tan A - \cot A = \frac{\sin A}{\cos A} -\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\cos A \sin A} $$

接着，根据正弦和余弦的定义可得：

$$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$

将其代入上式中，化简可得：

$$ \frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\cos A \sin A}=\frac{\sin^2 A}{\cos A \sin A} -\frac{\cos^2 A}{\cos A \sin A} = \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} $$

再根据正切和余切的定义可得：

$$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A},\ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $$

由此可得：

$$ \frac{1}{\sin A} - \frac{1}{\cos A} = \frac{\cos A - \sin A}{\sin A \cos A} $$

因此，我们得到：

$$ \tan A - \cot A = \frac{\cos A - \sin A}{\sin A \cos A} $$

接着，根据正弦和余弦的定义可得：

$$ \sec A = \frac{1}{\cos A},\ \csc A = \frac{1}{\sin A} $$

于是，我们有：

$$ \tan A - \cot A = \frac{\cos A - \sin A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A} - \frac{1}{\cos A} = \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} $$

将其代入原式可得：

$$ \begin{aligned} 1 + \sec A - \tan A - \cos A &= 1 + \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} - \cos A \ &= \frac{1 - \sin A \cos A}{\cos A} + \frac{1}{\cos A} \ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\cos A} \ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \ &= \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} + \tan A - \cot A \ &= \tan A - \cot A + \tan A - \cot A \ &= 2 \tan A - 2 \cot A \ &= 2 \frac{\sin A}{\cos A} - 2 \frac{\cos A}{\sin A} \ &= \frac{2 \sin^2 A - 2 \cos^2 A}{\sin A \cos A} \ &= -\frac{2}{\cos 2A} \end{aligned} $$

同时，我们有：

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\cos A} - \sec A + \tan A &= \frac{1 - \cos A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\cos A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \ &= \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} + \tan A - \cot A \ &= \tan A - \cot A + \tan A - \cot A \ &= 2 \tan A - 2 \cot A \ &= 2 \frac{\sin A}{\cos A} - 2 \frac{\cos A}{\sin A} \ &= \frac{2 \sin^2 A - 2 \cos^2 A}{\sin A \cos A} \ &= -\frac{2}{\cos 2A} \end{aligned} $$

因此，我们证明了：

$$ 1 + \sec A - \tan A - \cos A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1}{1 - \sin^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A} = \frac{1}{\sec^2 A} $$

$$ \frac{1}{\cos A} - \sec A + \tan A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1}{1 - \sin^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A} = \frac{1}{\sec^2 A} $$

因此，原式得证。

代码

## 证明
以下证明过程中，所有角度均为弧度制。

首先，根据正切和余切的定义可得：

$$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A},\ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $$

由此可得：

$$ \tan A - \cot A = \frac{\sin A}{\cos A} -\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\cos A \sin A} $$

接着，根据正弦和余弦的定义可得：

$$ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 $$

将其代入上式中，化简可得：

$$ \frac{\sin^2 A - \cos^2 A}{\cos A \sin A}=\frac{\sin^2 A}{\cos A \sin A} -\frac{\cos^2 A}{\cos A \sin A} = \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} $$

再根据正切和余切的定义可得：

$$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A},\ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $$

由此可得：

$$ \frac{1}{\sin A} - \frac{1}{\cos A} = \frac{\cos A - \sin A}{\sin A \cos A} $$

因此，我们得到：

$$ \tan A - \cot A = \frac{\cos A - \sin A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A} - \frac{1}{\cos A} = \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} $$

将其代入原式可得：

$$ \begin{aligned} 1 + \sec A - \tan A - \cos A &= 1 + \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} - \cos A \\ &= \frac{1 - \sin A \cos A}{\cos A} + \frac{1}{\cos A} \\ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\cos A} \\ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \\ &= \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} + \tan A - \cot A \\ &= \tan A - \cot A + \tan A - \cot A \\ &= 2 \tan A - 2 \cot A \\ &= 2 \frac{\sin A}{\cos A} - 2 \frac{\cos A}{\sin A} \\ &= \frac{2 \sin^2 A - 2 \cos^2 A}{\sin A \cos A} \\ &= -\frac{2}{\cos 2A} \end{aligned} $$

同时，我们有：

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\cos A} - \sec A + \tan A &= \frac{1 - \cos A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \\ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\cos A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} \\ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \\ &= \frac{1}{\cos A} - \frac{1}{\sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} + 1 - 1 \\ &= \frac{\csc A - \sec A}{\sin A \cos A} + \tan A - \cot A \\ &= \tan A - \cot A + \tan A - \cot A \\ &= 2 \tan A - 2 \cot A \\ &= 2 \frac{\sin A}{\cos A} - 2 \frac{\cos A}{\sin A} \\ &= \frac{2 \sin^2 A - 2 \cos^2 A}{\sin A \cos A} \\ &= -\frac{2}{\cos 2A} \end{aligned} $$

因此，我们证明了：

$$ 1 + \sec A - \tan A - \cos A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1}{1 - \sin^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A} = \frac{1}{\sec^2 A} $$

$$ \frac{1}{\cos A} - \sec A + \tan A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1}{1 - \sin^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A} = \frac{1}{\sec^2 A} $$ 

因此，原式得证。