X轴上K个相交线段的选择方式数

问题描述

假设有K条无限延长的线段，这些线段都与X轴相交且没有三条线段在同一点上。现在需要从这K条线段中选择两条线段，使得它们的交点的X坐标在X轴上的范围内。求有多少种不同的选择方法。

下面是一个图示例：

解题思路

当K = 1时，结果为0，因为只有一条线段，无法选择两条。

当K = 2时，结果为1，因为只有一种选择方式。

当K >= 3时，假设这K条线段的X坐标区间从小到大依次为(a1,b1), (a2,b2), ..., (aK,bK)。则对于第i条线段和第j条线段，它们的交点X坐标在X轴上的范围为[max(ai,aj), min(bi,bj)]。所以可以枚举两条线段，计算它们的交点X坐标范围，然后统计范围内不包括其他线段的个数。具体地，可以对于每个线段，计算出它左边和右边没有其他线段的长度，然后将它们相乘即可得到这个线段左右两边不包括其他线段的个数。这个乘积就是以这条线段为一条边的矩形的面积，即这个线段在能够选择的交点中贡献的总点数。

代码实现如下：

def count_ways(k, segments):
    n = len(segments)
    result = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            left = max(segments[i][0], segments[j][0])
            right = min(segments[i][1], segments[j][1])
            if left <= right:
                count1 = segments[i][1] - segments[i][0]
                count2 = segments[j][1] - segments[j][0]
                for t in range(n):
                    if t != i and t != j and segments[t][0] <= left and segments[t][1] >= right:
                        count1 -= min(segments[i][1], segments[t][1]) - max(segments[i][0], segments[t][0])
                        count2 -= min(segments[j][1], segments[t][1]) - max(segments[j][0], segments[t][0])
                result += count1 * count2
    return result

时间复杂度

外层循环枚举所有的线段对，时间复杂度为O(K^2)。内层循环计算出每个线段的贡献，时间复杂度为O(K)。因此，总时间复杂度为O(K^3)。

空间复杂度

只用了常数个变量，空间复杂度为O(1)。

总结

这道题虽然看上去比较复杂，但其实思路很简单，就是按照题意模拟出每个线段选择的情况，然后统计答案即可。需要注意的是，要判断两条线段是否有公共区间，以及如何计算一个线段的贡献。