📅  最后修改于: 2023-12-03 15:36:03.867000             🧑  作者: Mango
在进行数字运算时,需要考虑数据的进制。二进制是计算机内部使用的一种进制,但有时需要将其转换成十进制或其他进制。在这个过程中,我们可能需要对二进制字符串进行操作,以达到预期的结果。本文将介绍如何在二进制字符串上进行操作,以使其在除以$10^B$时得到$10^A$的余数,即求最小操作数。
在进行十进制运算时,我们知道,如果除数为$10^A$,那么其余数的最后$A$个数字就是原数的末尾$A$位数字。比如,对于$12345$除以$10^2$的余数,结果为$45$。
而在二进制运算中,如果二进制数为$n$位,则其最后$n$位二进制数即为除以$2^n$的余数。因此,如果我们需要将一个二进制数转换为十进制数,并求其除以$10^A$的余数,只需要将其最后$A$位二进制数转换为十进制数即可。
但是,如果我们不能将二进制字符串转换为十进制数进行操作,该怎么办呢?本文将介绍如何在二进制字符串上直接进行操作,以求得除以$10^B$的余数为$10^A$的最小操作数。
根据上述背景,我们可以得出一个结论:如果一个二进制字符串在除以$10^B$时余数为$10^A$,则该二进制字符串的末尾$B$位二进制数必须为$10^A$的最后$B$位二进制数的补数。
例如,如果我们需要将一个二进制数除以$10^3$,使得其余数为$100$,则该二进制数的末尾$3$位二进制数必须为$100$的补数$011$。其中,$100$的补数为$011$是因为$100$与其补数之和为$111$,即$2^3-1$。
因此,我们可以先将$10^A$转换为二进制数,并计算出其末尾$B$位二进制数的补数。然后,对于给定的二进制字符串,从后往前,依次检查每个二进制数是否与$10^A$的补数相等,若不相等,则将该二进制数与$10^A$的补数相减,并将进位加到前面的二进制数上。如此迭代,直至所有的二进制数均与$10^A$的补数相等,则操作数为迭代次数。
代码实现如下:
def min_op(a: str, A: int, B: int) -> int:
remainder = int(str(10**A), 2) % (2**B)
complement = (2**B - remainder) % (2**B)
cnt = 0
for i in range(len(a)-1, -1, -B):
s = a[max(0, i-B+1):i+1]
if int(s, 2) != complement:
x = (int(s, 2) - complement) % (2**B)
cnt += 1
for j in range(i-B+1, max(-1, i-2*B), -B):
if j < 0:
a = '1' + a
break
if a[j] == '0':
a = a[:j] + '1' + a[j+1:]
break
else:
a = a[:j] + '0' + a[j+1:]
a = a[:i-B+1] + bin(x)[2:].zfill(B) + a[i+1:]
return cnt
其中,函数min_op(a: str, A: int, B: int) -> int
接受三个参数:二进制字符串a
,整数$A$和整数$B$,返回最小操作数。代码中,我们使用了Python内置函数bin(x)
将一个十进制数转换为二进制字符串,使用了字符串切片[i:j:k]
将字符串str
从下标$i$到下标$j-1$以步长$k$切分为多个字符串,使用了字符串拼接+
将多个字符串拼接为一个字符串,使用了字符串补零函数zfill(n)
在字符串左边填充$0$,使其长度为$n$。
本文介绍了如何在二进制字符串上进行操作,以求得除以$10^B$的余数为$10^A$的最小操作数。其主要思想是计算$10^A$的末尾$B$位二进制数的补数,并迭代地检查二进制字符串中每个二进制数是否与其相等。该方法的时间复杂度为$O(\frac{n}{B})$,其中$n$为二进制字符串的长度。