满足点(A,B)和方程式时的抛物线

在平面直角坐标系中，抛物线是一个开口向上或向下的曲线。它可以由二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 表示，其中 $a$、$b$、$c$是常数。本文将介绍如何根据已知条件求解抛物线方程，以满足给定点 $(A,B)$ 和方程式的要求。

求解过点 $(A,B)$ 的抛物线

要求一条抛物线经过给定的点 $(A,B)$，只需将该点的坐标代入抛物线方程，得到一个包含未知项 $a$、$b$、$c$ 的方程。然后，通过解方程组可以得到 $a$、$b$、$c$ 的值，从而确定抛物线方程。

具体地，设抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，则有：

$$B=aA^2+bA+c$$

将这个方程与抛物线的一般式 $y=ax^2+bx+c$ 结合起来，得到一个带有三个未知数的方程组：

$$\left{\begin{aligned} & B=aA^2+bA+c \ & y=ax^2+bx+c \end{aligned}\right.$$

解这个方程组，可以得到：

$$a=\frac{B-c}{A^2},\quad b=A\cdot\frac{B-c}{A^2},\quad c=B$$

因此，过点 $(A,B)$ 的抛物线方程为：

$$y=\frac{B-c}{A^2}x^2+A\cdot\frac{B-c}{A^2}x+B$$

求解满足方程式的抛物线

如果已知抛物线的方程式 $y=ax^2+bx+c$，需要检验该抛物线是否满足要求。这里给出一种基于二次函数的判别法。

对于任意的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，

• 如果 $a>0$，则该函数开口向上，对于所有的 $x$ 都有 $y\ge c$；
• 如果 $a<0$，则该函数开口向下，对于所有的 $x$ 都有 $y\le c$。

因此，如果一个抛物线满足给定的方程式 $y=ax^2+bx+c$，那么它的开口方向和最低（或最高）点的纵坐标 $c$ 与给定的要求相同。

例如，若给定一个开口向上、最低点纵坐标为 $B$ 的点 $(A,B)$，则需要满足 $a>0$ 和 $c=B$。如果该方程式不满足这些条件，则无法通过给定的要求。

总结

本文介绍了如何根据给定的点 $(A,B)$ 和方程式求解抛物线。对于过点 $(A,B)$ 的抛物线，只需要代入坐标解出未知数即可。对于满足方程式的抛物线，则需要判断其开口方向和最低（或最高）点的纵坐标是否与给定要求相同。这些技巧可在编写程序时用于求解抛物线的相关问题。