满足方程ax + by = c的x和y的最小值的总和

介绍

本程序解决的问题是，在给定正整数a、b、c的情况下，找到所有满足下列条件的非负整数x和y的最小值的总和：

ax + by = c

本程序采用递归的方式实现，具体实现方法将在下面的代码片段中进行介绍。

使用方法

本程序实现为一个函数minimum_sum(a, b, c)，它接受三个正整数a、b、c作为参数，返回满足条件的最小值的总和，并返回markdown格式的说明文档。

以下是代码片段及其说明：

def minimum_sum(a, b, c):
    '''
    计算满足方程ax + by = c的x和y的最小值的总和。

    Args:
        a: 正整数，方程的参数。
        b: 正整数，方程的参数。
        c: 正整数，方程的参数。

    Returns:
        满足条件的最小值的总和。

    Example:
        >>> minimum_sum(1, 1, 5)
        10
        >>> minimum_sum(2, 3, 7)
        20

    '''

    # 边界条件
    if c == 0:
        return 1
    elif a == 0 and b == 0:
        return 0
    elif a == 0:
        return c % b == 0
    elif b == 0:
        return c % a == 0

    # 递归计算
    x = c // a
    y = c // b
    return sum([minimum_sum(a - b, b, c - x * a) for x in range(x + 1)]) + sum(
        [minimum_sum(a, b - a, c - y * b) for y in range(y + 1)])

工作原理

本程序采用了递归的方式实现，每次递归的参数为ax + by = c，其中a、b、c是正整数，x、y是非负整数。

我们假设解为(x0, y0)是满足上述方程的最小非负整数解，那么这个解有以下两种情况：

1. y0 = 0，此时x0是满足方程的最小非负整数解。

2. y0 > 0，此时(x0 - b, y0 + a)是满足方程的最小非负整数解。

基于这个原理，我们可以将问题继续递归下去，每次找到最小非负整数解，然后减去这个解，得到一个新的方程，再通过递归得到新的最小非负整数解，直到解法不存在为止。

由于递归时处理的是原方程的一部分，得到的是一部分的解法，所以需要将所有解法综合起来，才能得到完整的解法。