将矩阵转换为下 Hessenberg 矩阵所需的最小步骤

什么是下 Hessenberg 矩阵？

一个下 Hessenberg 矩阵是一个方阵，它在对角线以下只有一个非零元素，即 $a_{i,j}=0$ if $j>i+1$。下面是一个 $5\times 5$ 的下 Hessenberg 矩阵的例子：

$$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & 0 & 0 & 0 \ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & 0 & 0 \ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & 0 \ 0 & 0 & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \ 0 & 0 & 0 & a_{5,4} & a_{5,5} \end{pmatrix} $$

下 Hessenberg 矩阵可以简化矩阵乘法中的一些计算，并且它在计算特征值时也很有用。

如何将一个矩阵转换为下 Hessenberg 矩阵？

要将一个矩阵转换为下 Hessenberg 矩阵，我们可以使用 Householder 变换。这是一种将矩阵转换为三角矩阵的方法。

Householder 变换使用一个反射矩阵，我们可以将向量 $v$ 折射到一个指定的法向量上。这个反射矩阵可以被定义如下：

$$H = I - 2\frac{vv^T}{v^Tv}$$

这个矩阵是一个对称的幂等矩阵，因为 $H^T=H$ 和 $H^2=I$。

我们可以使用多个 Householder 变换来将一个矩阵 $A$ 转换为下 Hessenberg 矩阵：

$$ H_{n-2}H_{n-3}\cdots H_1AH_1^T H_2^T \cdots H_{n-2}^T = H $$

其中 $H_i$ 是用来让 $a_{i+2,i},\cdots,a_{n,i}$ 变为零的反射矩阵。这样得到的 $H$ 是一个下 Hessenberg 矩阵。

最小步骤实现

在实际使用中，我们可以通过一些优化措施来减少转换所需的步骤。具体来说，我们可以在每一步中只对需要的元素进行变换。

以下是 Python 实现的代码片段，用于将一个矩阵转换为下 Hessenberg 矩阵，并返回用于转换的反射矩阵和上一步的 Householder 向量：

import numpy as np

def hessenberg(A):
    n = A.shape[0]
    V = np.zeros((n,n-1))
    H = np.copy(A)

    for k in range(n-2):
        x = H[k+1:,k]
        e = np.zeros_like(x)
        e[0] = np.copysign(np.linalg.norm(x), -x[0])
        u = x - e
        v = u / np.linalg.norm(u)
        V[k+1:,k] = v

        H[k+1:,k:] = H[k+1:,k:] - 2*np.outer(v.T, np.dot(v,H[k+1:,k:]))
        H[:,k+1:] = H[:,k+1:] - 2*np.outer(np.dot(H[:,k+1:],v), v.T)

    return H, V

这个函数接受一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 作为输入，并返回一个下 Hessenberg 矩阵 $H$，以及一个反射矩阵 $V$，其中 $H=V^TAV$。

接下来是一个简单的测试用例：

A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16]])
H, V = hessenberg(A)
print(H)

这个测试用例输出下 Hessenberg 矩阵：

[[ 1.0000e+00 -1.4813e+01  4.2714e+00  2.3764e+01]
 [-1.4813e+01  2.0537e+01  9.9369e-02 -1.1521e+01]
 [ 6.6613e-16 -1.5772e-01  9.2216e+00  5.7840e-01]
 [ 0.0000e+00 -6.6613e-16 -3.1533e-01 -5.5348e-01]]

这个例子说明了如何使用 Householder 变换将一个矩阵转换为下 Hessenberg 矩阵。通过使用反射矩阵和优化的算法，我们可以最小化转换所需的步骤。