矩阵求幂

矩阵求幂是一种常见的数学运算，它通常用于解决与线性代数相关的问题，如求解线性方程组、求特征向量等。

矩阵的幂可以通过连续地对矩阵进行乘法操作来得到。具体而言，对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，我们可以定义 $A^k$ 为连续将 $A$ 自乘 $k-1$ 次所得到的矩阵。例如：

$$ A^2 = A \cdot A \ A^3 = A \cdot A \cdot A \ A^4 = A \cdot A \cdot A \cdot A \ \cdots $$

在实际应用中，矩阵的幂经常用于解决递推关系式问题，例如斐波那契数列、矩阵路径计数等问题。

矩阵乘法

在介绍矩阵求幂算法之前，我们需要先了解一下矩阵乘法运算。对于两个 $n \times m$ 和 $m \times p$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，它们的矩阵乘积 $C = AB$ 定义为：

$$ C_{i,j} = \sum_{k=1}^{m} A_{i,k} \cdot B_{k,j} $$

其中，$C_{i,j}$ 表示矩阵 $C$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{i,k}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $k$ 列的元素，$B_{k,j}$ 表示矩阵 $B$ 中第 $k$ 行第 $j$ 列的元素。

矩阵乘法具有结合律，即对于任意的 $n \times m$、$m \times p$ 和 $p \times q$ 的矩阵 $A$、$B$ 和 $C$，都有 $(AB)C = A(BC)$ 成立。

矩阵求幂算法

现在我们可以介绍矩阵求幂算法了。对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，我们希望求出 $A^k$ 的值。根据定义，我们可以写出以下递推关系式：

$$ \begin{aligned} A^1 &= A \ A^2 &= A \cdot A = A^1 \cdot A^1 \ A^3 &= A \cdot A^2 = A^1 \cdot A^1 \cdot A^1 \ A^4 &= A \cdot A^3 = A^1 \cdot A^1 \cdot A^1 \cdot A^1 \ \cdots \ A^k &= A \cdot A^{k-1} = A^1 \cdot A^2 \cdots A^{k-1} \end{aligned} $$

根据上述递推关系式，我们可以使用动态规划的思想来计算 $A^k$ 的值。具体而言，我们可以从 $A^1$ 开始，依次计算 $A^2$、$A^3$、$A^4$、$\cdots$ 直到 $A^k$。在计算每一个 $A^i$ 的过程中，我们可以利用矩阵乘法来计算 $A^i = A^{i-1} \cdot A$。

下面是一个示例代码，它计算了一个 $2 \times 2$ 的矩阵的幂：

def matrix_power(A, k):
    n = len(A)
    res = [([0] * n) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        res[i][i] = 1
    while k > 0:
        if k % 2 == 1:
            res = matrix_multiply(res, A)
        A = matrix_multiply(A, A)
        k //= 2
    return res

def matrix_multiply(A, B):
    n = len(A)
    m = len(B)
    p = len(B[0])
    C = [([0] * p) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(p):
            for k in range(m):
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
    return C

在上述代码中，函数 matrix_power(A, k) 接受一个 $n \times n$ 的矩阵 A 和一个整数 k，并返回矩阵 $A^k$。函数 matrix_multiply(A, B) 接受两个 $n \times m$ 和 $m \times p$ 的矩阵 A 和 B，并返回它们的乘积 C = AB。算法的时间复杂度为 $O(n^3 \log k)$。

总结

矩阵求幂是一种常见的数学运算，它可以用于解决很多与线性代数相关的问题。在实际应用中，我们可以使用动态规划的思想来计算矩阵的幂，时间复杂度为 $O(n^3 \log k)$。