门 | GATE-CS-2004 | 问题21

问题描述

给定一个具有n个门的单向图，在图中找到所有从节点1到n的路径，使得路径上的门状态可以更改。每个门有两个状态：打开和关闭。当一个路径经过一个门时，门的状态会更改。如果门当前是关闭状态，则更改为打开状态，如果门当前是打开状态，则更改为关闭状态。

编写一个程序，该程序需要通过输入单向图的图形表示形式计算出所有从节点1到n的路径，使得路径上的门状态可以更改。

输入

输入的第一行包含2个整数n和m，其中n是节点数，m是边数。接下来的m行包含每个边的信息。具体格式如下：

a b

这表示从节点a向节点b有一条有向边。

输出

程序应该打印出所有从节点1到n的路径，使得路径上的门状态可以更改。

样例

输入:

4 5
1 2
2 4
4 3
1 3
1 4

输出:

1 2 4 3
1 2 4 1 3
1 4 3
1 4 2 4 3

解决方案

本题是一个图论问题，需要通过遍历所有从节点1到n的路径，找到所有满足条件的路径。考虑使用递归实现深度优先遍历。在递归遍历过程中，记录每个门的状态，保证路径上的门状态可以更改。

具体代码实现如下：

from collections import defaultdict

def dfs(curr, target, graph, door, path, res):
    path.append(curr)
    # 如果到达目标节点，将路径保存到结果列表中
    if curr == target:
        res.append(path.copy())
    # 遍历所有邻接节点
    for neighbor in graph[curr]:
        # 如果路径上有门，则转换门的状态
        if door[neighbor]:
            door[neighbor] = 0
        else:
            door[neighbor] = 1
        dfs(neighbor, target, graph, door, path, res)
        # 回退时，将门的状态改回来
        if door[neighbor]:
            door[neighbor] = 0
        else:
            door[neighbor] = 1
    path.pop()


def find_paths(n, m, edges):
    # 构造图的邻接表
    graph = defaultdict(list)
    for a, b in edges:
        graph[a].append(b)
    # 初始化门的状态
    door = [0] * (n+1)
    # 记录所有从1到n的路径
    res = []
    dfs(1, n, graph, door, [], res)
    # 打印结果
    for path in res:
        print(' '.join(str(node) for node in path))

复杂度分析

代码中使用了深度优先遍历，时间复杂度为O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。在递归过程中，每个节点最多被访问一次，因此空间复杂度为O(V)。

总结

本题考察了对图论的理解和深度优先遍历的实现，通过掌握递归算法的实现和图的遍历原理，可以轻松解决本题和其他类似的图论问题。