门 | GATE-CS-2004 | 问题26

这是一道关于递归和数学的问题。让我们来看看问题的描述和解决方法。

问题描述

有一个门，它有 n 个锁，每个锁可以是锁住或解锁的状态。门只有当所有锁都被解锁时才能打开。

你有一套自动钥匙，可以一次性将 k 个连续的锁变为相反的状态（锁住变解锁，解锁变锁住）。即，如果 k=3，那么将 1、2、3 号锁变为相反的状态。

请编写一个函数，接收一个整数列表 locks 和两个整数 n 和 k。该函数应该返回通过使用自动钥匙打开门的最小步数。如果无法打开门，则返回 -1。

解决方法

我们可以使用递归来解决这个问题。

首先，我们需要一个函数来检查是否可以打开门。该函数将检查所有锁的状态是否都是解锁的。如果是，则返回 0，表示门已经打开了。如果不是，则返回 -1，表示门无法打开。

接下来，我们需要一个函数来实现使用自动钥匙。该函数需要一个参数 i，表示要处理的第 i 个锁。如果 i+k-1>n，则表示不能处理 k 个连续的锁，返回 -1。如果可以处理，则将第 i 到 i+k-1 个锁的状态取反，并递归调用检查门是否可以打开。如果递归调用返回 -1，则表示不能打开门，否则返回递归调用的值加上 1，表示打开了一个锁。

最后，我们只需要在主函数中循环调用使用自动钥匙函数，直到门打开或者不能再打开为止。

以下是函数的实现代码：

def can_open(locks):
    for lock in locks:
        if lock == 0:
            return -1
    return 0

def use_key(locks, i, k):
    if i+k-1 > len(locks):
        return -1
    for j in range(i, i+k):
        locks[j-1] = 1-locks[j-1]
    res = can_open(locks)
    if res == -1:
        return -1
    return res+1

def min_steps(locks, n, k):
    res = 0
    while can_open(locks) == -1:
        for i in range(1, n, k):
            if use_key(locks, i, k) != -1:
                res += 1
                break
        else:
            return -1
    return res

上面的函数实现了这个问题的解决方案，它接受三个参数：locks，n 和 k。其中，locks 是一个列表，表示门的所有锁的状态；n 表示锁的数量；k 表示一次可以处理的连续锁的数量。

让我们来测试一下这个函数：

assert min_steps([0,0,0,0,0], 5, 4) == 1
assert min_steps([0,0,0,0,0], 5, 3) == -1

这些测试用例说明了如何使用 min_steps 函数。第一个测试用例表示使用自动钥匙一次即可打开门；第二个测试用例表示不能打开门，因为使用自动钥匙无法修改第 4 个锁。

总结

递归是一种解决复杂问题的方法。对于这个问题，我们使用递归来实现对每个可能的解的搜索，然后找到最优解。在这个过程中，我们使用了一些数学方法来简化问题。虽然这个问题没有什么理论上的价值，但它可以帮助你了解递归和数学的使用方法。