仅使用给定字符集形成的子字符串计数

在计算机科学中，字符串是一种常见的数据结构。字符串由一系列字符（比如字母、数字、符号等）组成，并且可以被用来存储和表示文本数据。对于一个给定的字符串，我们可以通过不同的方式来对其进行操作和处理。而其中一个常见的问题就是计算一个字符串中仅使用给定字符集能够形成的子字符串的数量。

问题描述

给定一个字符串和一个字符集，计算该字符串中仅使用给定字符集能够形成的子字符串的数量。例如，如果给定字符串为 "abc"，字符集为 ["a", "b", "c"]，那么仅能够形成的子字符串为 "a"、"b"、"c"、"ab"、"ac"、"bc" 和 "abc"，因此计数为 7。

解决方法

方法一：暴力枚举

最简单直接的方法就是对于字符串中每一个位置，以该位置为起点，对剩下的字符进行枚举，判断每个子字符串中是否全部由给定字符集中的字符组成。这种方法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是字符串的长度。

def count_substrings(s, char_list):
    n = len(s)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            if all(ch in char_list for ch in s[i:j]):
                count += 1
    return count

方法二：动态规划

我们可以使用动态规划来优化暴力枚举的过程。具体来说，我们定义一个 $dp[i]$ 数组表示以第 $i$ 个字符结尾的、仅使用给定字符集中的字符组成的子字符串的数量。状态转移方程为：

$$ dp[i] = \begin{cases} 1, & \text{if } s_i \in char_list \ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

根据这个方程，我们可以递推计算出所有的 $dp[i]$，并将它们累加起来得到最终的答案。

def count_substrings(s, char_list):
    n = len(s)
    dp = [int(s[i] in char_list) for i in range(n)]
    count = sum(dp)
    for i in range(1, n):
        if s[i] in char_list and s[i - 1] in char_list:
            dp[i] += dp[i - 1]
        count += dp[i]
    return count

方法三：滑动窗口

我们也可以使用双指针的滑动窗口来优化暴力枚举的过程。具体来说，我们可以维护一个滑动窗口，该窗口包含的字符必须全部来自于给定的字符集。每次滑动右指针，如果扩展后的子字符串仍然合法，则将计数器加 1，并继续扩展右指针；否则滑动左指针。

def count_substrings(s, char_list):
    n = len(s)
    count, l = 0, 0
    for r in range(n):
        if s[r] not in char_list:
            l = r + 1
        while l <= r and set(s[l:r+1]).issubset(char_list):
            count += 1
            l += 1
    return count

总结

本文介绍了计算一个字符串中仅使用给定字符集能够形成的子字符串的数量的三种解决方法，分别是暴力枚举、动态规划和滑动窗口。其中，滑动窗口的方法具有最优的时间复杂度 $O(n)$，并且不需要额外的空间开销。在实际的应用场景中，我们可以根据数据特点选取适合的方法来进行求解。