门| Sudo GATE 2020 Mock I（2019 年 12 月 27 日）|问题 21

本题是一道计算机科学中经典的问题——门问题。对于初学者来说，这可能是一个有点棘手的问题，但是一旦你掌握了这个问题的解法，就能更好地理解和应用计算机科学中的逻辑和算法。

问题描述

有两个相同的、初始状态均为关闭的门 A 和 B，你需要完成以下操作：

1. 打开 A 门。
2. 让另一个人进去，此时另一个人会关闭任意一个门，也可能是已经打开的 A 门，然后再离开。
3. 选择一个门，可以选择关闭它，也可以选择不做任何操作。
4. 现在，你要选择一扇门进去，就可以拿到奖品，而另一扇门没有奖品。

你的目标是：通过操作 2 和 3，使得你在第 4 步中有更高的概率能够拿到奖品。

解题思路

首先，注意到当第 2 步发生时，只会有两种情况：门 A 被关闭或者门 B 被关闭。这两种情况的概率是相等的，所以我们无论选择哪扇门，都是有 50% 的概率选中赢得奖品的门。

但是，如果能够在第 3 步中只关闭一个门或者不关闭门，就能够改变这个概率。此时，我们定义一个策略：

1. 如果在第 2 步中关闭了门 A，就去选择门 B。
2. 如果在第 2 步中关闭了门 B，就去选择门 A。
3. 如果在第 2 步中关闭的是已经打开的门 A，就选择不关闭门，也就是选择门 A。
4. 如果在第 2 步中关闭的是已经打开的门 B，就选择不关闭门，也就是选择门 B。

这是一个比较巧妙的策略。我们可以通过画一下这个问题的状态树来验证这个策略。

先来看一下用我们的策略操作完第一次之后状态的树形图：

可以发现，无论另一个人关掉了哪扇门，我们都可以通过这个策略提高选中门的概率。

代码实现

下面是 Python 代码的实现，其中利用了模拟两个状态门的类，包括打开、关闭、判断是否打开等方法，以及策略的实现。

class Door:
    def __init__(self):
        self.is_open = False

    def open(self):
        self.is_open = True

    def close(self):
        self.is_open = False

    def is_opened(self):
        return self.is_open


door_a = Door()
door_b = Door()
door_a.open()

# 第二步
if door_b.is_opened():
    door_a.close()
elif door_a.is_opened():
    door_b.close()

# 第三步
if door_b.is_opened():
    chosen_door = door_a
else:
    chosen_door = door_b

# 第四步，随机选择另一扇门
if chosen_door.is_opened():
    print("Sorry, I lose.")
else:
    print("I win!")

代码演示了如何使用我们的策略，并最终输出胜利或失败的结果。