最长公共子序列，最多允许 k 个变化

什么是最长公共子序列？

最长公共子序列（Longest Common Subsequence， LCP）是在一系列序列中，找出它们最长的公共子序列的长度。子序列是从序列中删除一些元素而不改变其余元素的顺序得到的。例如，序列“ACE”是序列“ABCDE”的子序列，而序列“AEC”不是“ABCDE”的子序列。最长公共子序列不需要在原序列中是连续的。

问题描述

给定两个字符串 S 和 T，找出它们的最长公共子序列的长度。如果最多允许 k 个字符发生变化，该如何求解？

解决方案

动态规划

对于两个字符串 S 和 T，我们可以建立一个二维矩阵 dp，其中 dp[i][j] 表示 S 的前 i 个字符和 T 的前 j 个字符的最长公共子序列的长度。在状态转移时，我们考虑 S 的第 i 个字符和 T 的第 j 个字符是否匹配，如果匹配，那么最长公共子序列可以在匹配前的两个字符串的最长公共子序列的基础上加上这两个匹配的字符。如果不匹配，那么我们需要在 S 的前 i-1 个字符和 T 的前 j-1 个字符的最长公共子序列以及 S 的前 i 个字符和 T 的前 j-1 个字符的最长公共子序列之间取最长的那个。

当 k > 0 时，我们可以在计算 dp 的时候，通过判断当前字符是否匹配以及尝试变化字符来更新 dp 数组。具体地，如果当前字符不匹配，我们可以尝试将 S 的第 i 个字符修改成 T 的第 j 个字符，或者将 T 的第 j 个字符修改成 S 的第 i 个字符，这样最多可以允许进行一次字符修改。我们可以用一个变量来记录当前还剩下多少次字符修改的机会，然后在状态转移时，根据当前剩余的字符修改次数来考虑需要更新 dp 数组的哪些位置。

假设 S 和 T 的长度分别为 m 和 n，那么我们可以用 O(mn) 的时间复杂度计算出 dp 数组。根据 dp 数组，最长公共子序列的长度就是 dp[m][n]。当 k > 0 时，时间复杂度可能会略微高一些，但是仍然是 O(mn) 级别的。

代码实现

下面是 Java 代码的实现，其中 INF 表示一个比 S 和 T 的长度都大的常数，用于表示 dp 数组中未被初始化的位置。

public int longestCommonSubsequence(String s, String t, int k) {
    int m = s.length(), n = t.length();
    int[][][] dp = new int[m+1][n+1][k+1];
    int INF = Math.max(m, n) + 1;
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            Arrays.fill(dp[i][j], INF);
        }
    }
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            for (int l = 0; l <= k; l++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j][l] = 0;
                } else {
                    if (s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)) {
                        dp[i][j][l] = Math.min(dp[i-1][j-1][l], dp[i][j][l]);
                    } else {
                        dp[i][j][l] = Math.min(dp[i-1][j-1][l-1], dp[i][j][l]);
                        dp[i][j][l] = Math.min(dp[i][j][l], dp[i-1][j][l-1]);
                        dp[i][j][l] = Math.min(dp[i][j][l], dp[i][j-1][l-1]);
                        dp[i][j][l] = Math.min(dp[i][j][l], dp[i-1][j-1][l-1]) + 1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return dp[m][n][k] < INF ? dp[m][n][k] : -1;
}

时间复杂度

时间复杂度：$O(mnk)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为字符串 S 和 T 的长度，$k$ 表示需要允许的字符变化次数。

总结

本文介绍了如何求解两个字符串的最长公共子序列，以及在最多允许 k 次字符变化的情况下如何求解最长公共子序列的长度。这是一种常见的字符串处理问题，在动态规划的方法下可以有效地求解。