最长的公共子序列，最多允许k个更改

简介

最长的公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指在多个序列中找到最长的子序列，该子序列在所有序列中都按照同样的顺序出现，但不一定连续。在实际应用中，我们可能需要考虑到序列的相似程度，从而允许一定程度的修改操作。此时，可以引入一个参数 k，表示最多可以进行 k 个修改操作，使得子序列的长度最长。

解法

LCS 问题可以使用动态规划（Dynamic Programming，DP）来解决，求最长公共子序列时，可以使用一个二维表格，通过填表得到最长公共子序列的长度。而在允许 k 次修改操作的前提下，我们需要在填表时记录被修改的次数，并保证被修改的次数不超过 k。

具体来说，对于两个序列 X，Y，设 m = len(X)，n = len(Y)，则需要先构建一个大小为 (m+1)x(n+1)x(k+1) 的三维表格 dp。其中，dp[i][j][c] 表示 X 的前 i 个字符与 Y 的前 j 个字符之间的 LCS 长度，已经进行了 c 次更改操作。

三维表格的初始值是 dp[0][j][c] = dp[i][0][c] = 0，即两个空串之间的 LCS 长度为 0。在填表时，有以下两种情况：

1. X[i] == Y[j]

此时 LCS 的长度即为 dp[i-1][j-1][c] + 1。可以直接将该值赋给 dp[i][j][c]。

2. X[i] != Y[j]

此时存在两种情况，分别对应将 X[i] 或 Y[j] 修改为对应字符：

• dp[i][j][c] = max(dp[i-1][j][c], dp[i][j-1][c])

即不进行修改，LCS 的长度与之前相同。

• dp[i][j][c] = max(dp[i][j][c], dp[i-1][j-1][c-1] + 1)

即进行修改，并将被修改的字符匹配。 需要注意的是，当 c 达到上限 k 时，上述第二种情况需要舍弃。

最终，dp[m][n][k] 即表示在最多可以进行 k 次修改操作的前提下，X 和 Y 的 LCS 长度。

代码实现

以下为 Python 代码实现：

def lcs_with_k_changes(X, Y, k):
    m, n = len(X), len(Y)
    dp = [[[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)] for _ in range(m+1)]
    
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                for c in range(k+1):
                    dp[i][j][c] = dp[i-1][j-1][c] + 1
            else:
                for c in range(k+1):
                    dp[i][j][c] = max(dp[i-1][j][c], dp[i][j-1][c])
                    if c > 0:
                        dp[i][j][c] = max(dp[i][j][c], dp[i-1][j-1][c-1] + 1)
    
    return dp[m][n][k]

该算法的时间复杂度为 O(mnk)，空间复杂度为 O(mnk)。