LCM和HCF

• 因子和倍数：将一个数字完全除掉的所有数字，即不留下任何余数，被称为该数字的因子。例如，24可以被1、2、3、4、6、8、12、24完全整除。这些数字中的每一个被称为因子24，而24则被称为这些数字中的每一个的倍数。
• LCM：可被每个给定数字精确整除的最小数字称为这些数字的最小公倍数。例如，考虑数字3、31和62(2 x 31)。这些数字的LCM为2 x 3 x 31 = 186。
  为了找到给定数字的LCM，我们将每个数字表示为质数的乘积。出现在任何数字的素数分解中的素数的乘积最高乘积为我们提供了LCM。
  例如，考虑数字2、3、4(2 x 2)，5、6(2 x 3)。这些数字的LCM为2 x 2 x 3 x 5 =60。2的最高幂来自4的素因数分解，3的最高幂来自3的素因数分解和6的素数分解，以及5的最高幂来自5的素因数分解。
• HCF：将两个或多个数字相除的最大数字是这些数字的最高公因子(HCF)。例如，考虑数字30(2 x 3 x 5)，36(2 x 2 x 3 x 3)，42(2 x 3 x 7)，45(3 x 3 x 5)。 3是将这些数字除以最大的数字，因此是这些数字的HCF。
  HCF也称为最大公约数(GCD)。要查找两个或多个数字的HCF，请将每个数字表示为质数的乘积。普通素数的最小乘方乘积提供给我们HCF。这是我们在上面的步骤中说明的方法。
  同样，为了找到两个数字的HCF，我们也可以采用长除法进行。我们将较大的数字除以较小的数字(除数)。现在，我们将除数除以上一阶段获得的余数。我们重复相同的过程，直到剩下的零为止。在那个阶段，最后一个除数将是所需的HCF。
  例如，我们发现HCF为30和42。
  
• 对于两个数字’a’和’b’， LCM x HCF = axb
• 互素的HCF = 1
• 对于两个分数，
  HCF = HCF(分子)/ LCM(分母)
  LCM = LCM(分子)/ HCF(分母)
• 大于1的自然数总是可以写成两个自然数的最大公除数(gcd)和最小公倍数(lcm)之和，即
  x = gcd(a，b)+ lcm(a，b)。

  让我们证明一下。令x为大于1的任何自然数，并且a和b也是两个自然数(大于或等于1)。

  让我们来
  a = x-1和b = 1

  现在我们找到a和b的lcm，
  lcm(a，b)= a —-1

  这仅仅是一个原因，因为任何自然数为1的lcm都是数字本身。
  现在我们找到a和b的gcd
  gcd(a，b)= 1 –2
  因为任何自然数为1的gcd都是1，因为1是两个数字的最高公因数。

  将方程式1和2相加得到
  lcm(a，b)+ gcd(a，b)= a + 1

  放置a和b的值
  lcm(a，b)+ gcd(a，b)= x-1 + 1
  lcm(a，b)+ gcd(a，b)= x

样本问题

问题1：两个数字之比为5:11。如果他们的HCF为7，则找到数字。
解决方案：假设数字分别为5m和11m。由于5:11已经是减小的比率，因此’m’必须为HCF。因此，数字为5 x 7 = 35和11 x 7 = 77。问题2：找到木板的长度，该木板可用于在最短的时间内准确测量4 m 50 cm，9 m 90 cm和16 m 20 cm的长度。
解决方案：让我们先将每个长度转换为厘米。因此，长度分别为450厘米，990厘米和1620厘米。现在，我们需要找到可用于测量这些长度的最大木板的长度，因为最大木板将花费最少的时间。为此，我们需要采用450、990和1620的HCF。
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 ² x 5 ²
990 = 2 x 3 x 3 x 5 x 11 = 2 x 3 ² x 5 x 11
1620 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 = 2 ² x 3 ⁴ x 5
因此，HCF(450，990，1620)= 2 x 3 x 3 x 5 = 90
因此，我们需要一块90厘米长的木板来在最短的时间内测量给定的长度。问题3：求出最大数，该数除以70和50分别剩下余数1和4。
解决方案：所需数目分别将余数1和4分别除以70和50。这意味着数字正好除以69和46。
因此，我们需要找到69(3 x 23)和46(2 x 23)的HCF。
HCF(69，46)= 23
因此，23是必需的数字。问题4：找出分别除以64、136和238的最大数，以得到相同的余数。
解决方案：要找到所需的数字，我们需要找到(136-64)，(238-136)和(238-64)的HCF，即HCF(72、102、174)。
72 = 2 ³ x 3 ²
102 = 2 x 3 x 17
174 = 2 x 3 x 29
因此，HCF(72，102，174)= 2 x 3 = 6
因此，6是必需的数字。问题5：找到分别除以5、7、9和12所得的最小数，在每种情况下均剩下相同的余数3
解决方案：在这些类型的问题中，我们需要找到除数的LCM并在其中添加公共余数(3)。
因此，LCM(5，7，9，12)= 1260
因此，所需数字= 1260 + 3 = 1263问题6：找到可以被15、21和28整除的最大四位数。
解决方案：最大的四位数是9999。
现在，LCM(15，21，28)= 420
将9999除以420，我们得到339作为余数。
因此，所需的数字是9999-339 = 9660问题7：在地面上三个不同地方的警察分别每42秒，60秒和78秒吹一次哨子。如果他们都在9:30:00时同时吹口哨，那么他们什么时候又一起吹口哨?
解决方案：在等于各自吹口哨周期的LCM的时间间隔后，他们都将在同一时间再次吹口哨。
因此，LCM(42、60、78)= 2 x 3 x 7 x 10 x 13 = 5460
因此，他们将在5460秒后(即1小时31分钟后，即11:01:00小时)再次同时吹哨。问题8：求出最少的数，该数除以6,7,8时会剩下3，而当除以9时就没有余数。
解决方案： LCM(6，7，8)= 168
因此，电话号码的格式为168m + 3。
现在，168m + 3应该可以被9整除。
我们知道，如果数字的总和是9的倍数，那么它可以被9整除。
对于m = 1，数字是168 + 3 = 171，其数字之和是9。
因此，所需的数字是171。问题9：两个数字之比为2：3。如果它们的LCM和HCF的乘积为294，请找到数字。
解决方案：令公共比率为“ m”。因此，数字为2m和3m。
现在，我们知道数字乘积= LCM和HCF的乘积。
=> 2m x 3m = 294
=> m ² = 49
=>米= 7
因此，数字是14和21。问题10：尺寸为180m x 105m的矩形区域应由相同的正方形瓷砖铺成。找到每个磁贴的大小和所需的磁贴数量。
解决方案：我们需要找到一个正方形的瓷砖大小，以使许多瓷砖精确地覆盖该区域，而不会留下未铺砌的区域。
为此，我们找到了字段长度和宽度的HCF。
HCF(180，105)= 15
因此，每个图块的大小= 15m x 15m
另外，图块数=区域面积/每个图块的面积
=>瓦片数=(180 x 105)/(15 x 15)
=>瓦片数= 84
因此，我们需要84个磁贴，每个磁贴的尺寸为15m x 15m。问题11：具有三个矩形区域字段为60m ^2，84米²和108米²是被划分成相同的矩形花坛，各自具有长度6米。找出每个花床的宽度。
解决方案：我们需要将每个大田地分成较小的花坛，以使每个花坛的面积相同。
因此，我们找到了较大字段的HCF，这给了我们较小字段的面积。
HCF(60、84、108)= 12
现在，这个HCF是每个花坛^{的面积(以m 2为单位)。}
另外，矩形区域的面积=长度x宽度
=> 12 = 6 x宽度
=>宽度= 2 m
因此，每个花床将为2 m宽。问题12：找出最大的学生人数，其中可以分配182个巧克力和247个糖果，以使每个学生获得的人数相同。另外，找到每个学生将获得的巧克力和糖果的数量。
解决方案：我们需要找到可用的巧克力和糖果数量的HCF，这将使我们的学生人数增加。
HCF(182，247)= 13
因此，可能有13名学生。
另外，每位学生的巧克力数量= 182/13 = 14
每个学生的太妃糖数量= 247/13 = 19

HCF和LCM的问题|套装2

LCM程序

• 查找两个数字的LCM的程序
• 给定数组元素的LCM
• 在不使用GCD的情况下查找两个以上(或数组)数字的LCM
• 无需使用GCD即可查找2个数字的LCM的程序
• 检查数组元素的LCM是否可被质数整除
• 查找有理数的LCM
• 给定数字的数字的LCM
• 数组元素的LCM的主要因素
• LCM为N的最大非重复数之和

HCF计划

• 程序以迭代方式查找HCF
• 查找2个数字的HCF(最高公因数)的程序
• 查找两个数字的GCD或HCF的程序
• 给定LCM和HCF时查找其他数字
• 分数(或有理数)数组的HCF

LCM测验

HCF测验