- 因数和倍数：所有能整除一个数，即不留余数的数，称为该数的因数。例如，24 完全可以被 1、2、3、4、6、8、12、24 整除。这些数字中的每一个都被称为 24 的因数，24 被称为这些数字的倍数。
- LCM：可以被每个给定数字完全整除的最小数字称为这些数字的最小公倍数。例如，考虑数字 3、31 和 62 (2 x 31)。这些数字的 LCM 将是 2 x 3 x 31 = 186。
为了找到给定数字的 LCM，我们将每个数字表示为质数的乘积。出现在任何数字的素因数分解中的素数的乘积最高幂为我们提供了 LCM。
例如，考虑数字 2, 3, 4 (2 x 2), 5, 6 (2 x 3)。这些数字的 LCM 是 2 x 2 x 3 x 5 = 60。 2 的最高幂来自 4 的质因数分解，3 的最高幂来自 3 的质因数分解和 6 的质因数分解和 5 的最高幂来自 5 的素数分解。 - HCF：将两个或多个数字相除的最大数是这些数字的最大公因数 (HCF)。例如，考虑数字 30 (2 x 3 x 5)、36 (2 x 2 x 3 x 3)、42 (2 x 3 x 7)、45 (3 x 3 x 5)。 3 是划分这些数字中的每一个的最大数字，因此，是这些数字的 HCF。
HCF 也称为最大公约数 (GCD)。要找到两个或多个数字的 HCF，请将每个数字表示为质数的乘积。公共素数项的最小幂的乘积为我们提供了 HCF。这就是我们在上述步骤中说明的方法。
另外，为了找到两个数的 HCF，我们也可以通过长除法来进行。我们将较大的数除以较小的数（除数）。现在，我们将除数除以前一阶段获得的余数。我们重复相同的过程，直到我们得到零作为余数。在那个阶段，最后一个除数将是所需的 HCF。
例如，我们找到 30 和 42 的 HCF。
- 对于两个数字“a”和“b”， LCM x HCF = axb
- 互质的 HCF = 1
- 对于两个分数，
HCF = HCF（分子）/ LCM（分母）
LCM = LCM（分子）/ HCF（分母） - 一个大于 1 的自然数总是可以写成两个自然数的最大公约数 (gcd) 和最小公倍数 (lcm) 之和，即，
x=gcd(a,b)+lcm(a,b)。让我们证明一下。设 x 是任何大于 1 的自然数，而 a 和 b 也是两个自然数（大于 o 或等于 1）。
让我们来
a=x-1 和 b=1现在我们找到 a 和 b 的 lcm ，
lcm(a,b)=a —-1这只是因为任何带有 1 的自然数的 lcm 是数字本身。
现在我们找到 a 和 b 的 gcd
gcd(a,b)=1 —-2
因为任何带有 1 的自然数的 gcd 都是 1，因为 1 是两个数字的最大公因数。将等式 1 和 2 相加，我们得到
lcm(a,b)+gcd(a,b)=a+1放置 a 和 b 的值
lcm(a,b)+gcd(a,b)=x-1+1
lcm(a,b)+gcd(a,b)=x
示例问题
问题1：两个数字的比例为5:11。如果他们的 HCF 是 7，请找出数字。
解决方案：让数字为 5m 和 11m。由于 5:11 已经是缩小的比率，因此“m”必须是 HCF。因此，数字是 5 x 7 = 35 和 11 x 7 = 77。问题 2：求出能在最短的时间内准确测量 4 m 50 cm、9 m 90 cm 和 16 m 20 cm 长度的木板的长度。
解决方案：让我们首先将每个长度转换为厘米。因此，长度为 450 厘米、990 厘米和 1620 厘米。现在，我们需要找到可用于测量这些长度的最大木板的长度，因为最大木板花费的时间最少。为此，我们需要取 450、990 和 1620 的 HCF。
450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 2 x 5 2
990 = 2 x 3 x 3 x 5 x 11 = 2 x 3 2 x 5 x 11
1620 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 5 = 2 2 x 3 4 x 5
因此，HCF (450, 990, 1620) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90
因此，我们需要一块 90 厘米长的木板来在最短的时间内测量给定的长度。问题 3：找出在除以 70 和 50 时分别留下余数 1 和 4 的最大数。
解决方案：所需的数字分别在除以 70 和 50 时留下余数 1 和 4。这意味着这个数字正好可以整除 69 和 46。
因此，我们需要找到 69 (3 x 23) 和 46 (2 x 23) 的 HCF。
HCF (69, 46) = 23
因此，23 是所需的数字。问题 4：找出在每种情况下除以 64、136 和 238 得到相同余数的最大数。
解决方案：要找到所需的数字，我们需要找到(136-64)、(238-136) 和(238-64) 的HCF，即HCF (72, 102, 174)。
72 = 2 3 x 3 2
102 = 2 x 3 x 17
174 = 2 x 3 x 29
因此，HCF (72, 102, 174) = 2 x 3 = 6
因此，6 是所需的数字。问题 5：找出最小的数，当除以 5、7、9 和 12 时，在每种情况下都剩下相同的余数 3
解决方案：在这些类型的问题中，我们需要找到除数的 LCM 并将公共余数（3）添加到它。
所以，LCM (5, 7, 9, 12) = 1260
因此，所需数量 = 1260 + 3 = 1263问题 6：找出能被 15,21 和 28 整除的最大四位数。
解：最大的四位数字是 9999。
现在，LCM (15, 21, 28) = 420
将 9999 除以 420，我们得到 339 作为余数。
因此，所需的数字是 9999-339 = 9660问题 7：地面三个不同地方的警察分别每隔 42 秒、60 秒和 78 秒鸣哨一次。如果他们都在 9:30:00 时同时吹口哨，那么他们什么时候再次一起吹口哨？
解决方案：他们都将在与各自吹哨周期的 LCM 相等的时间间隔后再次吹哨。
所以，LCM (42, 60, 78) = 2 x 3 x 7 x 10 x 13 = 5460
因此，他们将在 5460 秒后，即 1 小时 31 分钟后，即 11:01:00 时再次同时吹哨。问题 8：找出除以 6、7、8 余数为 3，除以 9 时没有余数的最小数。
解决方案： LCM (6, 7, 8) = 168
因此，数字的形式为 168m + 3。
现在，168m + 3 应该可以被 9 整除。
我们知道一个数能被 9 整除，如果它的数字之和是 9 的倍数。
对于 m = 1，数字为 168 + 3 = 171，其数字之和为 9。
因此，所需的数字是 171。问题 9：两个数字的比例为 2:3。如果他们的 LCM 和 HCF 的乘积是 294，请找出数字。
解决方案：让公比为“m”。所以，数字是2m和3m。
现在，我们知道数字的乘积 = LCM 和 HCF 的乘积。
=> 2m x 3m = 294
=> 米2 = 49
=> 米 = 7
因此，数字是 14 和 21。问题 10：尺寸为 180m x 105m 的矩形场地由相同的正方形瓷砖铺成。找出每个瓷砖的大小和所需的瓷砖数量。
解决方案：我们需要找到一个正方形瓷砖的大小，使得许多瓷砖完全覆盖该场地，没有未铺砌的区域。
为此，我们找到了字段长度和宽度的 HCF。
HCF (180, 105) = 15
因此，每块瓷砖的尺寸 = 15m x 15m
另外，瓷砖的数量=田地面积/每个瓷砖的面积
=> 瓷砖数量 = (180 x 105) / (15 x 15)
=> 瓷砖数量 = 84
因此，我们需要 84 个瓦片，每个瓦片的大小为 15m x 15m。问题 11：将面积分别为 60 m 2 、84 m 2和 108 m 2 的三个矩形花坛分成相同的矩形花坛，每个花坛的长度为 6 m。找出每个花坛的宽度。
解决方案：我们需要将每块大田分成较小的花坛，使每块花坛的面积相同。
因此，我们找到了较大场的 HCF，它为我们提供了较小场的面积。
HCF (60, 84, 108) = 12
现在，此 HCF 是每个花坛的面积（以 m 2 为单位）。
此外，矩形区域的面积 = 长度 x 宽度
=> 12 = 6 x 宽度
=> 宽度 = 2 m
因此，每个花坛的宽度为 2 m。问题 12：找出最多可以分发 182 颗巧克力和 247 颗糖果的学生人数，使每个学生得到相同的数量。另外，找出每个学生将获得的巧克力和糖果的数量。
解决方案：我们需要找到可用巧克力和糖果数量的 HCF，这将为我们提供学生人数。
HCF (182, 247) = 13
所以，可以有13名学生。
此外，每个学生的巧克力数量 = 182 / 13 = 14
每个学生的太妃糖数量 = 247 / 13 = 19
关于 HCF 和 LCM 的问题 |组 2
LCM 程序
- 寻找两个数字的 LCM 的程序
- 给定数组元素的 LCM
- 在不使用 GCD 的情况下查找两个以上（或数组）数字的 LCM
- 在不使用 GCD 的情况下查找 2 个数字的 LCM 的程序
- 检查数组元素的 LCM 是否可被质数整除
- 求有理数的 LCM
- 给定数字的数字的 LCM
- 阵元LCM的素因数
- LCM 为 N 的不同数字的最大总和
HCF 计划
- 迭代查找 HCF 的程序
- 查找 2 个数字的 HCF（最高公因数）的程序
- 查找两个数字的 GCD 或 HCF 的程序
- 在给出 LCM 和 HCF 时找到另一个数字
- 分数数组（或有理数）的 HCF