在代数中，术语可以是单个数字或变量，也可以是数字和变量相乘在一起。术语之间用+或-符号隔开，有时也用除号隔开。
示例：在表达式5x – 10 = 1、5x，10和1中是术语。
什么是算术级数?
算术级数(AP)或算术级数是一个数字序列，以使任意两个连续的数字(或项)之间的差为常数。
例子：
Sequence 1 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Above sequence forms an AP since the difference between any two
consecutive terms is same, which is equal to 1. See below:-
2 - 1 = 1 (2nd - 1st)
3 - 2 = 1 (3rd - 2nd)
...
6 - 5 = 1 (6th - 5th)
Sequence 2 : -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
Similarly above sequence also forms an AP:-
(-2) - (-4) = 2 (2nd - 1st)
(0) - (-2) = 2 (3rd - 2nd)
...
6 - 4 = 2 (6th - 5th)
Sequence 3 : 1, 3, 5, 9, 4, 10, ...
Above sequence doesn't form an AP as difference between any two
consecutive terms is not same:-
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
9 - 5 = 4
4 - 9 = -5
10 - 4 = 6
寻找算术级数的公式
从上面给出的示例中，您可以发现模式吗?我们如何找到任何提供的n的n个项?
让我们尝试找出模式。再看一下序列2 ：-
Sequence 2: -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...
We see difference as (-2) - (-4) = 2 = ...= 6 - 4 = 2. So difference (say) d = 2.
1st term (say) a = -4
我们可以将所有术语写为：
1st: -4 + (0) × 2
2nd: -4 + (1) × 2
3rd: -4 + (2) × 2
4th: -4 + (3) × 2
….
….
nth: -4 + (n – 1) × 2
因此，我们看看a是第一项， d是差，然后是第n个项，例如T n可以计算为：
现在，我们计算第100个项，因此对于n = 100，我们有：
Tn = a + (n - 1) × d
T100 = (-4) + (100 - 1) × 2
T100 = (-4) + (99) × 2
T100 = 194
因此，AP的形式为：
将AP应用于除数
算术级数有助于简化数学计算。考虑以下问题：
问题：在20到100的范围内有多少个数字可被3整除?
解决方案：我们可以在此处使用AP的概念来解决以下问题：
步骤1：在给定范围内计算第一个可被3整除的数字：
20 = 3 × 6 + 2
a = 20 + (3 - remainder)
a = 20 + (3 - 2)
a = 21
步骤2：计算指定范围内的最后一个数字(nth)：
100 = 3 × 33 + 1
Tn = 100 - remainder
Tn = 100 - 1
Tn = 99
因此，我们现在有了一个AP，其第一项为a ，最后一项为T n ，如下所示：
21、24、27，…，99
现在我们需要找到以上AP中的项数，因此我们将公式用于AP的第n个项：
Tn = a + (n - 1) × d
a = 21, Tn = 99, d = 3
99 = 21 + (n - 1) 3
n = 27
因此，在20到100之间有27个可以被3整除的数字。
使用AP解决序列词问题：增长模式
这些类型的问题包括为问题中给定的顺序找到规则(AP公式)。这些相当容易。
考虑以下问题：
Problem: What equation describe the growth pattern of following sequence of numbers:
1, 5, 9, 13, ....
Also calculate 41th term?
解决方案：让我们看看序列是否遵循AP(如果有)，并尝试找出第一项和不同之处：
5 - 1 = 4
9 - 5 = 4
13 - 9 = 4
因此，任何两个连续项之间的差是相同的(等于4)，因此形成了AP：
Tn = 1 + (n - 1) × 4
因此，增长模式为1 +(n – 1)×4，而第41个项是：
T41 = 1 + (41 - 1) × 4
T41 = 161
如何计算前n个项的总和?
给定n和一个AP，我们如何计算前n个项的总和?让我们为它导出公式：
让S n表示前n个项的总和，我们可以用两种方式写S n：
您会看到两者相同，但方向相反，即，第一个元素是从第一项到最后一项，第二个元素是从最后到第一项。
现在添加以上两个：
计算前n个自然数的总和
问题：计算1到100之间的自然数之和。
据轶事说，高斯上小学时，他因行为不检受到老师的惩罚。高斯被要求将数字从1增加到100(老师认为这是一项繁琐的工作)。但是他能够在几秒钟内计算出5050的总和。他是怎么做的?
他做了类似的事情：1 + 2 + 3 +。 。 。 。 + 49 + 50 +(100 – 49)+。 。 。 。 +(100 – 2)+(100 – 1)+ 100
这抵消了49 * 100 + 100 + 50 = 50 * 100 + 50 = 50(100 +1)。高斯很棒，但是我们也不少，因为有了公式，我们将使用它。
解决方案：我们看到自然数(1,2,3，…)形成一个AP，因此我们可以计算出前n个项的总和，如下所示：
第一项，a = 1
差，d = 1
所以，
Sn = (n/2) × [2a + (n - 1) × d]
Sn = (n/2) × [2 × 1 + (n - 1) × 1]
Sn = (n/2) × (n + 1)
对于n = 100，我们有：
S100 = (100/2) × (100 + 1)
S100 = 5050
现在您已经在算术进阶方面很出色！