如何将矩阵相乘

矩阵知识对于数学的各个分支都是必不可少的。矩阵是数学中最强大的工具之一。在本文中，我们讨论矩阵乘以矩阵的乘法。在数学中，矩阵乘法是一件非常简单的事情。如果要与一个数字相乘，则只需将该数字与矩阵中存在的所有元素相乘即可。但是，如果我们将一个矩阵与另一个矩阵相乘，那么我们必须看到一些规则。

Rules: 

We can multiply two matrices if the number of rows in the 1st matrix is the same as the number of columns in the 2nd matrix, otherwise, we cannot apply multiplication between the matrices.

1. Let’s say a matrix of size 2×3 and another matrix is of size 3×2, then we can apply the multiplication between those matrices because the number of columns and rows are the same in both the matrices. And the resultant matrix will be of 2×2
2. Let’s say a matrix of size 3×3 and another matrix is of size 4×2, then we cannot apply the multiplication between those matrices because the number of columns and rows are not the same in both the matrices.

矩阵乘以矩阵

假设2个3×3的矩阵分别具有元素a [i，j]和b [i，j]。乘法将如下图所示：

有一些规则，

1. 取第一个矩阵的第一行，然后将值乘以第二个矩阵的第一列。不要将行与行相乘，也不要将列与列相乘。
2. 在第一次迭代中，将行值与列值相乘，然后将这些值相加。在此图片中，a [0，0]与b [0，0]相乘，然后第一矩阵a [1，0]的第一列的第二值与第二个矩阵的第一行的第二值相乘矩阵b [0,1]。同样，所有值都在相乘。
3. 然后，经过一轮迭代，所有乘积值将加在一起，并作为结果矩阵的元素放置，如图所示。

例子

问题1.让$A =\begin{bmatrix} 1 & 8 & 3\\ 9 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 7 \end{bmatrix}$和$B =\begin{bmatrix} 6 & 7 & 4\\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 9 & 8 \end{bmatrix}$寻找AxB?

解决方案：

$A \times B =\begin{bmatrix} 1 & 8 & 3\\ 9 & 4 & 5 \\ 6 & 2 & 7 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 6 & 7 & 4\\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 9 & 8 \end{bmatrix}$ 

$=\begin{bmatrix} (1*6 + 8*1 + 3*5) & (1*7 + 8*3 + 3*9) & (1*4 + 8*2 + 3*8)\\ (9*6 + 4*1 + 5*5) & (9*7 + 4*3 + 5*9) & (9*4 + 4*2 + 5*8) \\ (6*6 + 2*1 + 7*5) & (6*7 + 2*3 + 7*9) & (6*4 + 2*2 + 7*8) \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 29 & 58 & 44\\ 83 & 120 & 84 \\ 73 & 111 & 84 \end{bmatrix}$

问题2。 $A =\begin{bmatrix} 1 & 5 & 4\\ 9 & 3 & 8 \end{bmatrix}$和$B =\begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 1 & 3 \\ 5 & 9 \end{bmatrix}$ 。寻找AxB?

解决方案：

$A \times B =\begin{bmatrix} (1*6 + 5*1 + 4*5) & (1*7 + 5*3 + 4*9) \\ (9*6 + 3*1 + 8*5) & (9*7 + 3*3 + 8*9)\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 31 & 58 \\ 97 & 144\end{bmatrix}$

问题3.让 $A=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -3\\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ ， $B=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 0 \\ 4 & 2\end{bmatrix}$和$C=\begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$ 。查找(AB + AC)?

解决方案：

$A \times B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -3\\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 3 & 1\\ -1 & 0 \\ 4 & 2\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} (2*3 + 0*(-1) + (-3)*4) & (2*1 + 0*0 + (-3)*2) \\ (1*3 + 4*(-1) + 5*4) & (1*1 + 4*0 + 5*2)\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -6 & -4 \\ 19 & 11\end{bmatrix}$

$A \times C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -3\\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 4 & 7\\ 2 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} (2*4 + 0*2 + (-3)*1) & (2*7 + 0*1 + (-3)*(-1)) \\ (1*4 + 4*2 + 5*1) & (1*7 + 4*1 + 5*(-1))\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 5 & 17 \\ 17 & 6\end{bmatrix}$

Now calculate  (AB + AC)

$= \begin{bmatrix} -6 & -4 \\ 19 & 11\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 17 \\ 17 & 6\end{bmatrix}$

$(AB +BC)= \begin{bmatrix} -1 & 13 \\ 36 & 17\end{bmatrix}$

问题4.让$A=\begin{bmatrix} 2 & -2\\ -2 & 2\end{bmatrix}$ ， 和$A^2=pA$ ，然后找到p的值?

解决方案：

First, calculate A²,

$A^2 = A\times A=\begin{bmatrix} 2 & -2\\ -2 & 2\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 & -2\\ -2 & 2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} (2*2 + (-2)*(-2)) & ((2*(-2) + (-2)*2) \\ ((-2)*2 + 2*(-2)) & ((-2)*(-2) + 2*2)\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 8 & -8\\ -8 & 8\end{bmatrix}$

Given $A^2=pA$

By placing the value of A² in the equation, we get

$\begin{bmatrix} 8 & -8\\ -8 & 8\end{bmatrix} = p\begin{bmatrix} 2 & -2\\ -2 & 2\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} 8 & -8\\ -8 & 8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2p & -2p\\ -2p & 2p\end{bmatrix}$

Now, we can write, 

8 = 2p and, -8 = -2p

So, p = 4

The value of p is 4.