两条曲线之间的面积

积分是将特定区域的面积计算为许多小条，然后计算其面积并将其求和的过程。我们知道用于计算某些标准形状的面积的公式，通过积分，我们可以根据给定边界的公式来计算任意区域的面积。有时，在更复杂的场景中，我们需要找到一些曲线的交点之间的区域。因此，我们需要学习如何计算两条曲线之间的面积。让我们看看如何解决这些问题，

曲线之间的面积公式

假设我们在下图中给出了两条曲线，分别是f(x)和g(x) 。我们知道区间[a，b]中的f(x)≥g(x)。我们的目标是找出在给定间隔内两条曲线之间的边界区域。首先，我们找到两条曲线之间的交点。相交点是x = a和x = b。在下图中，阴影区域给出了两条曲线之间的边界区域。我们假设曲线之间有一条基本带，该带的长度为f(x)– g(x)，宽度为dx。因此，两条曲线之间的边界区域为

$A = \int^{b}_a[f(x) - g(x)]dx$

在先前的公式中，我们假设区间[a，b]中的f(x)≥g(x)。但它并非总是如此，让我们考虑在[A，C]和F(X)≤G(X)中并[c，b]，这里A ，F(X)≥G(X) 。因此，该区域的边界区域如下图所示：

Total Area = Area of PRQS + Area of QACB 

                  = $\int^{c}_{a}[f(x) - g(x)]dx + \int^{b}_{c}[g(x) - f(x)]dx$

样本问题

问题1：找到从x = 0到x = 3的两条线f(x)= 5x和g(x)= 3x的边界区域。

解决方案：

The figure below shows both the lines, 

Figure 

Area = $\int^{b}_a[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{3}_0[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{3}_0[5x - 3x]dx$

        = $\int^{3}_0[2x]dx$

        = $[x^2]^3_0$

        = 9

问题2：找出两条曲线f(x)= x ³和g(x)= x ²之间介于0和1之间的边界区域。

解决方案：

The figure below shows both the curves, to find the bounded region, we first need to find the intersections. 

f(x) = g(x) 

⇒x³ = x²

⇒x²(x-1) = 0

⇒ x = 0 and 1

Figure 

Area = $\int^{b}_a[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{1}_0[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{3}_0[x^2 - x^3]dx$

        = $\int^{1}_{0}x^2dx - \int^1_0x^3dx$

        = $[\frac{x^3}{3}]^1_0 - [\frac{x^4}{4}]^1_0$

        = $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

        = $\frac{1}{12}$

问题3：找出抛物线y ² = 4x与x ² + y ² = 9之间的边界区域。

解决方案：

The figure below shows both the curves, to find the bounded region, we first need to find the intersections. 

x² + y² = 12

Figure 

Area = $\int^{b}_a[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{1}_0[f(x) - g(x)]dx$

        = $\int^{1}_0[x - x^2]dx$

        = $\int^{1}_{0}xdx - \int^1_0x^2dx$

        = $[\frac{x^2}{2}]^1_0 - [\frac{x^3}{3}]^1_0$

        = $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

        = $\frac{1}{6}$

问题4：找出抛物线y ² = 4x与它的子宫直肠之间的边界区域。

解决方案：

The figure below shows the parabola, and it’s latus rectum. Latus rectum is the line x = 1. We need to find the intersections, 

y² = 4 

y = 2 and -2

Area = 2(Area of the region bounded by the parabola and x = 1 and x-axis in the first quadrant) 

         = 2($\int^1_0ydx$

         = 2$\int^1_0\sqrt{4x}dx$

         = 4$\int^1_0\sqrt{x}dx$

         = 4$\int^1_0[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]dx$

         = $\frac{8}{3}[x^{\frac{3}{2}}]^1_0$

         = $\frac{8}{3}$

问题5：下图显示了一个椭圆9x ² + y ² = 36和一个弦PQ。在第一个象限中找到在弦和椭圆之间的封闭区域。

解决方案：

The equation of ellipse is, 

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$

= $\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1$

So, now the equation of the chord becomes,

$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$

⇒ 3x + y = 6 

⇒ y = 6 – 3x

So, now the required area will be. 

A = $3\int^{2}_0 \sqrt{4 - x^2}dx - \int^{2}_{0}(6 - 3x)dx$

   = $3[\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2sin^{-1}\frac{x}{2}]^2_0 - [6x - \frac{3x^2}{2}]^2_0$

   = $6sin^{-1}(1) - 6$

   = $3\pi - 6$