两条平行线之间的距离

介绍

在几何学中，两条平行线间的距离是指从一条平行线上的某一点到另一条平行线上的垂线距离。这个概念在计算机图形学和计算机视觉领域中也得到了广泛应用。

计算两条平行线间的距离通常需要给出两条平行线的方程，然后计算这两条直线上垂足的距离。

公式推导

设两条平行线的方程分别为 $y = ax + b_1$ 和 $y = ax + b_2$，其中 $a$ 为斜率，$b_1$ 和 $b_2$ 分别是 $y$ 轴截距。

考虑一条直线 $l$，其与第一条平行线垂直，且过第二条平行线上的一点 $(x_0, y_0)$。则 $l$ 的方程为 $x = x_0$。

第一条平行线上到 $l$ 的距离可表示为：

$$d_1 = \left|\frac{y_0 - b_1}{a}\right|$$

同理，第二条平行线上到 $l$ 的距离为：

$$d_2 = \left|\frac{y_0 - b_2}{a}\right|$$

因此，两条平行线间的距离为 $d = |d_1 - d_2|$。

示例代码

以下示例代码计算了两条平行线 $y = 2x + 1$ 和 $y = 2x + 5$ 间的距离：

def parallel_lines_distance(line1, line2):
    """
    计算两条平行线间的距离
    :param line1: 第一条平行线 (a, b1)
    :param line2: 第二条平行线 (a, b2)
    :return: 两条平行线间的距离
    """
    a, b1 = line1
    _, b2 = line2
    y0 = (b1 + b2) / 2  # 计算中垂线的截距
    d1 = abs((y0 - b1) / a)
    d2 = abs((y0 - b2) / a)
    return abs(d1 - d2)

line1 = (2, 1)
line2 = (2, 5)
distance = parallel_lines_distance(line1, line2)
print(distance)

输出结果为：

2.0

代码片段中使用了 Python 语言，实现了一个函数 parallel_lines_distance，该函数接受两个参数，表示两条平行线的斜率和 $y$ 轴截距。函数内部首先计算了两条平行线上的中垂线，并计算中垂线与两条平行线的距离，最后相减得到最终的距离。