门| GATE-CS-2016(Set 2)|问题11

请考虑以下表达式：
(i)错误
(ii)问
(iii)正确
(iv)P∨Q
(v)QQ∨P
P∧(P⇒Q)在逻辑上隐含的上述给出的表达式数是________________

[此问题原本是填空问题]
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5答案： (C)
解释：

该解决方案由Anil Saikrishna Devarasetty提供。

替代说明：
答案是4。这是解决方案

如果说[P∧(P⇒Q)]是X的“逻辑隐含”，则
[P∧(P⇒Q)]⇒X始终为真，即是重言式
所以如果上面的表达是重言式
那么我们可以说X在逻辑上由P∧隐含(P⇒Q)

因此，我们需要找到对于[P∧(P⇒Q)]⇒X对于P，Q和X的所有值始终为真的X。
看下表

P....Q...(P ⇒ Q)...[P ∧ (P ⇒ Q)].......X.......[ P ∧ (P ⇒ Q) ] ⇒ X
0....0.....1............0.............1/0............1......
0....1.....1............0.............1/0....  ......1......
1....0.....0..... ......0.............1/0............1......
1....1.....1............1..............1.............1.......

请注意，如果表达式的前提即X的值无关紧要，即
[P∧(P⇒Q)]⇒X的前提是[P∧(P⇒Q)]为0
表示如果[P∧(P⇒Q)]为0，则最终表达式将是X的所有值的重言式。

但是，如果前提是1(如最后一行)，则X必须为1，这样最终的含义，即[P∧(P⇒Q)]⇒X对于所有值都是正确的。

如果您用所有5个选项替换X，那么您会发现
对于X = Q，True，P∨Q，¬Q∨P，所述表达式将始终为真
对于X = False，该表达式将不是重言式
因此，表达式数为4
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Note: 
An important inference rule called "modus ponenes" 
says this [ P ∧ (P ⇒ Q) ] ⇒ Q is a tautology
we noted that if we replace X by Q then it is 
indeed a tautology meaning Q is implied by 
[ P ∧ (P ⇒ Q) ] 

这个问题的测验