GATE-CS-2016(Set 1) - 问题 7

这是一道考察红黑树性质的算法题。题目要求实现一个红黑树类，并编写两个方法：insert 和 countNodesInRange。

红黑树

红黑树是一棵自平衡二叉搜索树，它有以下特点：

• 每个节点要么是红色，要么是黑色。
• 根节点是黑色。
• 每个叶子节点（空节点）是黑色的。
• 如果一个节点是红色的，则它的子节点都必须是黑色的。
• 从任意一个节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数量的黑色节点。

红黑树的平衡性通过节点的颜色来维护，它的查询，插入和删除的复杂度都是 O(log n)。

insert 方法

insert 方法是红黑树中最基本的方法之一。它用于将新元素插入到红黑树中。这里是一个 insert 方法的 Python 实现：

def insert(self, val):
    node = RBNode(val)

    # 插入新节点
    parent = None
    curr = self.root
    while curr is not None:
        if val < curr.val:
            parent, curr = curr, curr.left
        else:
            parent, curr = curr, curr.right

    if parent is None:
        self.root = node
    elif val < parent.val:
        parent.left = node
    else:
        parent.right = node

    # 平衡红黑树
    node.parent = parent
    self.fixInsertion(node)

在这个方法中，我们首先创建一个新的节点 node，将其插入到红黑树中。我们从根节点开始，依次在左子树和右子树中查找要插入的位置。一旦找到要插入的位置，我们就将新节点连接到相应的父节点上，并调用 fixInsertion 方法来重新平衡红黑树。

countNodesInRange 方法

countNodesInRange 方法用于计算红黑树中值在某个区间（闭区间）内的节点数。这里是一个 countNodesInRange 方法的 Python 实现：

def countNodesInRange(self, left: int, right: int) -> int:
    return self.countRangeNodes(self.root, left, right)

def countRangeNodes(self, node: RBNode, left: int, right: int) -> int:
    if node is None:
        return 0
    
    count = 0
    if left <= node.val <= right:
        count += 1

    if node.val >= left:
        count += self.countRangeNodes(node.left, left, right)

    if node.val <= right:
        count += self.countRangeNodes(node.right, left, right)

    return count

在这个方法中，我们使用递归来遍历红黑树。对于节点 node，如果其值在区间 [left, right] 内，则将节点计数器 count 加一。然后，我们递归计算左子树和右子树中值在区间 [left, right] 内的节点数，并将计数器加上这些值。递归过程中，我们会根据节点值与区间边界的关系，决定递归到哪个子树中。

总结

本文介绍了如何实现一个红黑树类，并编写 insert 和 countNodesInRange 两个方法。insert 方法用于将新元素插入到红黑树中，而 countNodesInRange 方法用于计算红黑树中值在某个区间内的节点数。这些方法都是基于红黑树的基本性质和算法实现的。如果你希望深入了解红黑树，可以查看相关的学习资料。